матан отвты / теория / 26

Умножение матриц и его свойства. Кольцо матриц

Произведение матриц А и В обозначают С=А*В. Операция умножения согласована только для матриц, где число столбцов одной матрицы равно числу строк другой

Свойства умножения матриц:

АВ≠ВА

(АВ)С=А(ВС) – ассоциативность умножения

А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивность умножения

(А+В)С=АС+ВС – дистрибутивность умножения

λ(АВ)= (λА)В

Матрицы называются перестановочными, если А*В=В*А. Ими могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка А*Е=Е*А=А. Нулевая матрица перестановочна аналогично единичной А*О=О*А=А.

Множество квадратных матриц одного и того же порядка n>1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число представляет собой некоммутативное кольцо с единицей (множество R, где a*b≠b*a). Некоммутативно, так как умножение квадратных матриц n>1 некоммутативно. Единичным элементом кольца служит единичная матрица.

Сумма и произведение диагональных (верхних треугольных и нижних треугольных) матриц одного и того же порядка являются диагональными (верхними треугольными и нижними треугольными) матрицами, следовательно операции сложения и умножения матриц определены на множествах диагональных матриц одного и того же порядка, откуда следует, что каждое из этих множеств – кольцо с единицей, причем кольцо диагональных матриц коммутативное

Кольцо – множество K, где заданы две бинарные операции – сложение и умножение, со свойствами, выполняющимися для любых a,b,c ϵ K.

a+b=b+a – коммутативность сложения

a+(b+c)=(a+b)+c – ассоциативность сложения

(∃0ϵK) a+0=0+a=a – существование нейтрального элемента относительно сложения

(∀aϵK ∃bϵK) a+b=b+a=0 – существование противоположного элемента относительно сложения

∃ - существование; ∀ - для любых

(a×b)×c=ab+bc – ассоциативность умножения

a×(b+c)=ab+ac - дистрибутивность

(b+c)×a=ba+ca – дистрибутивность

Может существовать кольцо с единицей, может существовать коммутативное кольцо (где a*b=b*a).

Кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.

Коммутативное тело называется полем

Поля – рациональные, действительные, комплексные числа.