матан отвты / теория / 28
.docТеорема Лапласа и свойства определителей.
Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.
Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, расположенных на пересечении строк с номерами i1 , i2 , ..., ik и столбцов с номерами j1 , j2 , ..., jk , называется минором M k-го порядка матрицы A.
Если из матрицы A вычеркнуть строки и столбцы с такими номерами, то определитель n–k-го порядка полученной матрицы называется дополнительным минором для минора M
Обозначим символом S сумму индексов, нумерующих строки и столбцы такого минора:
S = i1 + j1 + i2 + j2 + ... + ik + jk .
Алгебраическим дополнением минора M называется дополнительный минор для минора M, умноженный на (–1)S.
Отметим, что алгебраическое дополнение Ai j элемента ai j (минора первого порядка) является частным случаем алгебраического дополнения минора.
Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов), где 1 ≤k ≤ n – 1.
Тогда определитель D равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.
-
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:
Это свойство вытекает из определения детерминанта и выражает равноправие строк и столбцов определителя.
-
Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число:
.
Такое свойство определителей позволяет, в частности, выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя.
-
Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.
.
-
Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю:
.
-
Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю:
-
Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
-
Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
-
Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:
.
-
Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:
-
Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:
Асимптоты. Общая схема построения графика функции.