матан отвты / теория / 27

Теоремы Лагранжа и Коши.

Присоединенная и обратная матрицы. Их свойства.

А – квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и А, называется присоединенной по отношению к А, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы А

Присоединенная матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов исходной матрицы.

Исходная матрица:

Где:

•  — присоединённая(союзная, взаимная) матрица;

•  — алгебраические дополнения исходной матрицы;

•  — элементы исходной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента  матрицы  называется число

,

где  — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы  путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Алгоритм получения обратной матрицы

• заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение - в результате будет получена присоединенная матрица

• разделить каждый элемент транспонированной присоединенной матрицы на определитель исходной матрицы.

А*А^Т=А^Т*А=detA*E, где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Присоединенная матрица является квадратной из определения, так как алгебраические дополнения вводятся только для квадратных матриц

Пусть А – квадратная матрица. Квадратная матрица А^-1 того же порядка, что и А, называется обратной по отношению к А, если А^-1А=АА^-1=Е

Для невырожденной матрицы А существует обратная матрица, которая может быть вычислена по формуле

Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.