3.2. Формулировки законов

Теорема о кинетической энергии

Приращение кинетической энергии частицыравно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.

Приращение кинетической энергии системы телравно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:

. (1)

Закон изменения механической энергии

Приращение полной механической энергии системы телравно алгебраической сумме работ, которую совершают всевнешние непотенциальныесилы ивнутренние диссипативныесилы, действующих на все тела системы:

. (2)

Закон сохранения механической энергии

Если в выражении (2) правая часть обращается в нуль, то закон изменения механической энергии превращается в закон сохранения механической энергии:

. (3)

В частности, в инерциальной системе отсчета механическая энергия замкнутой системы тел при отсутствии диссипативных сил сохраняется в процессе движения.

Закон изменения импульса

Приращение импульса системы тел равно импульсу равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

. (4)

Если внешние силы не зависят от времени, выражение (4) принимает вид:

.

Закон сохранения импульса

Если правая часть в выражении (4) обращается в нуль, то закон изменения импульса превращается в закон сохранения, а именно:

. (5)

Чаще всего он применяется для двух взаимодействующих тел и записывается в векторном виде:

Здесь v₁иv₂- скорости тел в состоянииI,u₁иu₂- скорости тел в состоянииII.

Сформулируем те условия, при выполнении которых можно применять закон сохранения импульса.

1) Система замкнута, т.е. , следовательно,

2) Система замкнута в некотором направлении, которое можно связать с осью x, т.е.;,. В этом случае, учитывая векторный характер величин, имеем:

.

3) Промежуток времени между состояниями IиIIнастолько мал (удар, взрыв), что внешние силы не могут заметно повлиять на скорости тел, т.е. приt0

.

Закон изменения момента импульса

Приращение момента импульса системы тел равно импульсу суммарного момента всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:

. (6)

Когда рассматривается движение вокруг неподвижной оси, то этот закон записывается в проекции на направление оси вращения (ось z):

.

Закон сохранения момента импульса

Если правая часть в выражении (6) обращается в нуль, то закон изменения момента импульса превращается в закон сохранения, а именно:

. (7)

Это возможно в следующих случаях.

1) Момент внешних сил, действующих на все тела системы, равен нулю.

2. При малости промежутка времени между состояниями IиII(удар, взрыв), т.е. приt0.

3.3. Удар

Абсолютно упругий удар.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические, виды энергии.

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Потенциальная энергия каждого тела в состояниях до и после удара одинакова, перераспределяется только кинетическая энергия. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в виде:

Типичным примером абсолютно упругого удара является удар шаров при игре в бильярд.

Абсолютно неупругий удар.

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию, после удара тела движутся с одинаковой скоростью или покоятся.

Законы сохранения импульса и момента импульса принимают вид:

Количество тепла, выделившегося при ударе, или работа, затраченная на неупругую деформацию тел, равна уменьшению кинетической энергии системы.

В частности, при взаимодействии материальных точек или поступательно движущихся твердых тел

.