того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, а при третьем – синий.

3.2.Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.

3.3.Брошены монета и кость. Найти вероятность того, что одновременно на монете появится "орел", а на кости "6".

3.4.В студии находится три телекамеры. Вероятность включения каждой камеры равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы одна камера будет включена.

3.5.Из ряда цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – другая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:

а) только в первый раз; б) только во второй раз; в) в первый и во второй.

3.6.Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события А в одном испытаний.

3.7.Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком (первым или вторым).

3.9.Из последовательности чисел 1, 2,…,10 наудачу одно за другим выбирают два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше числа 5, а другое – больше.

3.10.Осуществляется проверка изделий на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:

а) из трех проверенных деталей только одна окажется нестандартной;

б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

39

4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Полная вероятность. Формула Байеса

4.1. В первой коробке содержится 20 радиоламп, причем из них 18 стандартных. Во второй коробке – 10 радиоламп (9 штук стандартных). Из второй коробки наудачу вынута 1 лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что извлеченная из первой коробки радиолампа будет стандартной.

4.2.В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы следующая: 0,9 для лыжника, 0,8 для велосипедиста, 0,75 для бегуна. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норматив.

4.3.В первом ящике находится 20 деталей (из них 15 – стандартных), во втором – 30 деталей (24 стандартных), в третьем – 10 деталей (6 стандартных). Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика будет стандартной.

4.4.Имеется четыре кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок, равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

4.5.Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую вытащенную наудачу кость можно будет приставить к первой.

4.6.В ящике содержится три детали. В него положена еще одна, причем стандартная. Определить вероятность извлечения из ящика стандартной детали, если все рассматриваемые варианты равновероятны.

4.7.Вероятность срабатывания сигнализатора С1 равна 0,8,

асигнализатора С2 – 0,9. Вероятность приобретения С1 равна 0,6, а С2 – 0,4. Получен сигнал о неисправности сигнализатора. Что вероятнее: на объекте стоит сигнализатор С1 или С2?

40

4.8.Для участия в студенческих отборочных соревнованиях из первой группы выделено 4 человека, из второй – 6, из третьей – 5. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей группы попадут в сборную команду института, равны соответственно: 0,9; 0,7; 0,8. К какой из групп вероятнее всего будет принадлежать произвольно выбранный из сборной команды студент?

4.9.Вероятность удовлетворения стандарту изделия 0,96. Предлагается методика проверки изделия на стандартность, которая дает положительный результат с вероятностью 0,05 по изделиям, не удовлетворяющим стандарт, и с вероятностью 0,98 по стандартным изделиям. Найти вероятность того, что изделие, признанное по методике стандартным, действительно ему удовлетворяет.

5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

5.1.В цехе имеется 6 моторов. Вероятность того, что мотор

вданный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность, что в данный момент:

а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

5.2.Найти вероятность того, что событие А появится в пяти испытаниях не менее двух раз, если вероятность появления его в каждом испытании равна 0,3.

5.3.Событие В появится в том случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

5.4.Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

41

5.5.Вероятность попадания в цель при одном выстреле

равна 0,9. Вероятность поражения цели при К попаданиях равна 1 – qk. Найти вероятность того, что цель будет уничтожена, если сделано 2 выстрела.

5.6.Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом опыте равна 0,2.

5.7.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что мишень при 100 выстрелах будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

6.Закон распределения дискретных случайных величин

6.1.Составить закон распределения случайной величины

X, возможные значения которой равны: Х1 = 2, Х2 = 5, Х3 = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: P1 =

=0,4, P2 = 0,15.

6.2.Игральная кость брошена три раза. Написать закон распределения числа появлений «шестерки».

6.3.Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность их повреждения в пути равна 0.0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 поврежденные детали.

6.4.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в минуту равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

6.5.Найти среднее число опечаток на одной странице рукописи, если вероятность того, что страница рукописи содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

6.6.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность

повреждения в пути:

42

а) ровно трех деталей; б) менее трех деталей; в) более трех деталей; г) хотя бы одной детали.

7.Определение математического ожидания

7.1.Произведено четыре выстрела с вероятностями попадания в цель: 0,6; 0,4; 0,5; 0,7. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

7.2.Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения. Найти математическое ожидание (МО) произведения X и Y двумя способами:

а) составив закон распределения случайной величины ХУ; б) пользуясь свойствами МО.

7.3.Найти МО произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух костей

7.4.В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Определить МО числа нестандартных деталей.

7.5.Найти МО дискретной случайной величины X, которое представляет число таких бросаний пяти костей, при каждом из которых на двух костях появляется по одному очку. Общее число бросаний равно 20.

7.6.Бросают 10 костей. Найти МО суммы чисел очков, которые выпадут на всех десяти костях.

8.Определение дисперсии

8.1.Дисперсия случайной величины Х равна 5. Найти

дисперсию следующих величин, учитывая, что D(x) = 5.

а) x – 1; б) – 2x; в) 3x + 6.

8.2. Случайная величина Х принимает только два значения: + С и – С с вероятностью, равной 0,6.Определить

дисперсию X.

8.3. Определить дисперсию случайной величины, зная ее

8.4.Случайная величина X может принимать два

возможных значения X1 и X2 с вероятностью 0,3 и 0,7,причем X2 больше X1 .Найти X1 и X2, если известно, что МО X равно

2,7, а дисперсия – 0,21.

8.5.Найти дисперсию числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если МО равно 0,8.

8.6.Устройство состоит из четырех независимых узлов.

Вероятности отказов каждого узла равны: P1 = 0.3; Р2 = 0,4; P3 = 0.5; P4 = 0.6. Определить МО и дисперсию отказов устройства как сумму четырех независимых узлов.

8.7.Случайные величины заданы законом распределения. Определите среднее квадратическое отклонение (СКО).

X 2 4 8

P 0,1 0,5 0,4

8.8. Дисперсия каждой из 9 одинаково распределенных величин равна 36. Определить дисперсию и СКО среднеарифметического.

9. Интегральная и дифференциальная функции

распределения

9.1. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения. Найти вероятность того, что в результате испытаний X примет значение, заключенное в интервале [0,1].

9.2. Случайная величина X задана интегральной функцией. Определить вероятность того, что X примет значение больше 2 и меньше 3.

1x > 4

9.3.Случайная величина X задана законом распределения. Построить график интегральной функции x.

X 2 6 10

р0,5 0,4 0,1

9.4.Случайная величина X задана плотностью распределения. Найти коэффициент а.

0x > π/2/

9.5.Случайная величина задана плотностью распределения. Определить:

а) интегральную функцию;

б) вероятности того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0, π / 4).

0x > π

9.6.Дана интегральная функция распределения x. Найти дифференциальную функцию распределения.

45

10. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормальное, равномерное и показательное распределение

10.1.Случайная величина X распределена нормально с МО

иСКО соответственно 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытаний X примет значение, заключенное в интервале (4; 8).

10.2.Автомат изготавливает шарики, которые считаются годными, если отклонение его диаметра от проектного составляет 0,7 мм. Найти вероятность изготовления годных шариков, если распределение отклонения подчинено нормальному закону с СКО, равным 0,4 мм.

10.3.Найти МО и дисперсию случайной величины, зная ее плотность распределения.

f(x) =

0при всех других значениях x.

10.4.Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с СКО, равным 1 мм, и МО, равным 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превысит по абсолютной величине 1,28 мм.

10.5.Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Найти СКО, если 5 % всех коробок имеют массу меньше 1 кг. Учесть, что масса коробок подчинена нормальному закону.

10.6.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Отклонение бомбы от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста независимы, распределены нормально и имеют

соответственно σx = 6 м и σy = 4 м при а = 0. Найти: 46

а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы;

б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем для разрушения достаточно попадания хотя бы одной.

10.7. Производится обрезка металлической проволоки. Контролируется длина куска проволоки, которая распределена нормально с МО, равным 50 мм. Фактическая длина кусков лежит в диапазоне от 32 до 68 мм. Найти вероятность того, что длина наугад взятого куска проволоки будет:

а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

10.8.Найти выражение для определения МО, дисперсии и СКО случайной величины X, равномерно распределенной и интервале (а, в). Определить значение МО, дисперсии и СКО случайной величины X в интервале (0,1).

10.9.Ребро куба X измерено приближенно причем 4 ≤ x ≤ 5. Рассматривая размер куба как случайную величину X3, распределенную равномерно в интервале (4, 5), найти МО и дисперсию объёма куба.

10.10.Вероятность безотказной работы одного элемента

устройства имеет интенсивность потока отказов λ = 0,01 1ч . Определить вероятность:

а) отказа элемента за время, равное 100 ч; б) вероятность безотказной работы устройства в течение

100 ч, состоящего из двух элементов, в котором один элемент резервирует другой.

10.11. Определить вероятность попадания непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону с параметром λ в интервале (а, в). Вычислить вероятность попадания в интервал (0, 1) с λ = 0,5.

10.12. Нож брошен внутрь круга радиусом R. Вероятность попадания ножа вовнутрь круга пропорциональна его площади. Найти интегральную функцию распределения, МО и

дисперсию расстояния от точки попадания ножа до центра круга.

10.13. Случайная ошибка измерения подчинена нормальному закону с а = 0 и σ = 20 мм. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений хотя бы одно не превзойдет по своей величине 4 мм.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк, 1997.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. -

М.: Высш. шк, 2006.

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. -

М.: Наука, 1999.

4.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты) / В.Ф. Чудесенко. - М.: Высш. шк, 2007.

5.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

6.Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. – М.: Физматлит, 2002.

7.Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. – СПб.: Питер, 2004.

8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный.

–М.: Айрис-пресс, 2004.

48