Чопоров_Основы информатики

Квантование по уровню состоит в преобразовании непрерывного множества значений сигнала x(ti) в дискретное

множество значений xk, k = 0,1,..., (m - 1); xk (xmin, xmax)

(третий вид сигнала).

Совместное применение операций дискретизации и квантования по уровню позволяет преобразовать непрерывный сигнал x(t) в дискретный по координатам х и t (четвертая разновидность).

В результате дискретизации исходная функция x(t) заменяется совокупностью отдельных значений x(ti). По значениям функции x(ti) можно восстановить исходную функцию x(t) с некоторой погрешностью. Функцию, полученную в результате восстановления (интерполяции) по значениям x(ti), будем называть воспроизводящей и обозначать

V(t).

При дискретизации сигналов приходится решать вопрос о том, как часто следует проводить отсчеты функции, т. е. каков должен быть шаг дискретизации ti = ti – ti-1. При малых шагах дискретизации количество отсчетов функции на отрезке обработки будет большим и точность воспроизведения – высокой. При больших шагах дискретизации количество отсчетов уменьшается, но при этом, как правило, снижается точность восстановления. Оптимальной является такая дискретизация, которая обеспечивает представление исходного сигнала с заданной точностью при минимальном количестве отсчетов.

Методы дискретизации и восстановления информации классифицируются в зависимости от регулярности отсчета, критерия оценки точности дискретизации и восстановления, вида базисной функции, принципа приближения.

Регулярность отсчета определяется равномерностью дискретизации.

Дискретизация называется равномерной (рис. 1.3а), если длительность интервалов ti = const на всем отрезке обработки сигнала. Методы равномерной дискретизации широко применяют, так как алгоритмы и аппаратура для их реализации

21

достаточно просты. Однако при этом возможна значительная избыточность отсчетов.

Дискретизация называется неравномерной (рис. 1.3б), если длительность интервалов между отсчетами ti , различна, т. е. ti = var . Выделяют две группы неравномерных методов: адаптивные и программируемые. При адаптивных методах интервалы ti , изменяются в зависимости от текущего изменения параметров сигналов. При программируемых методах интервалы ti , изменяются либо оператором на основе анализа поступающей информации, либо в соответствии с заранее установленной программой работы.

Рис. 1.3. Способы дискретизации информации

Критерии оценки точности дискретизации сигнала выбираются получателем информации и зависят от целевого использования сигнала и возможностей аппаратной (программной) реализации. Чаще других используются критерий наибольшего отклонения, среднеквадратический, интегральный и вероятностный.

Тип базисных (приближающих, воспроизводящих) функций в основном определяется требованиями ограничения сложности устройств (программ) дискретизации и восстановления сигналов.

22

Воспроизводящие функции v(t) обычно совпадают с приближающими функциями p(t), хотя в общем случае они могут отличаться друг от друга. Чаще всего для дискретизации и восстановления используют ряды Фурье и Котельникова, полиномы Чебышева и Лежандра, степенные полиномы, функции Уолша и Хаара, гипергеометрические функции.

При равномерной дискретизации шаг t и частота отсчетов F0 – постоянные величины (рис. 1.3а). Модель равномерной дискретизации очень хорошо подходит к модели синхронных автоматов. Теорема Котельникова позволяет осуществлять выбор шага дискретизации, что существенным образом может повлиять на количество и скорость поступления информации для обработки.

Квантование по уровню состоит в преобразовании непрерывных значений сигнала x(ti) в моменты отсчета ti, в дискретные значения (рис. 1.4). В соответствии с графиком изменения функции x(t) ее истинные значения представляются в виде заранее заданных дискретных уровней 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Функция в моменты отсчета может задаваться или точно (значение х2 – уровень 4), или с некоторой погрешностью (значение х1 – уровень 2, значение x3 – уровень 6).

Рис. 1.4. Квантование по уровню

23

Квантование по уровню может быть равномерным и неравномерным в зависимости от величины шага квантования. Под шагом (интервалом) квантования m понимается разностьm = xm – xm-1, где xm, xm-1 – соседние уровни квантования.

Уровень квантования для заданного значения сигнала x(t) можно выразить двумя способами:

1)сигнал x(ti) отождествляется с ближайшим уровнем квантования;

2)сигнал x(ti) отождествляется с ближайшим меньшим (или большим) уровнем квантования.

Так как в процессе преобразования значение сигнала x(t) отображается уровнем квантования xm , а каждому уровню m может быть поставлен в соответствие свой номер (число), то при передаче или хранении информации можно вместо истинного значения величины xm использовать соответствующее число m. Истинное значение уровня квантования легко восстановить, зная масштаб по шкале х. Для представления m уровней квантования с помощью неизбыточного равномерного кода потребуется n=log2m разрядов. Такое преобразование сопровождается шумами или погрешностью квантования. Погрешность квантования связана с заменой истинного значения сигнала x(ti) значением, соответствующим уровню квантования xm . Максимальная погрешность квантования зависит от способа отождествления сигнала с уровнем квантования. Для первого из рассмотренных способов она равна 0,5 m, для второго – m.

Чем меньше шаг квантования, тем меньше погрешность квантования. Можно принять, что погрешность квантования в пределах шага квантования имеет равновероятный закон распределения, т. е. любое значение функции в пределах шага

i 0

полинома, аi – действительные коэффициенты. Из этого класса

24

функций наиболее полно исследовано применение полиномов нулевой и первой степени. Алгебраические полиномы удобны для программирования и обработки на ЭВМ.

Выбор оптимальной функции представляет определенные трудности, так как при решении задачи минимизации числа дискретных характеристик для описания сигнала с заданной точностью должны учитывать сложность аппаратуры (программ), допустимое время задержки в выдаче информации и другие факторы.

Метод дискретизации при преобразовании непрерывной информации в дискретную влияет на количество информации, которую надо хранить или преобразовывать в ЭВМ. Важна теорема Котельникова, согласно которой функция, имеющая ограниченный спектр частот, полностью определяется дискретным множеством своих значений, взятых с частотой отсчетов:

где fm = 2 m – максимальная частота в спектре частот S(j ) сигнала x(t); m –угловая скорость.

Функция x(t) воспроизводится без погрешностей по точным значениям x(ti) в виде ряда Котельникова:

где t – шаг дискредитации.

Теорема Котельникова справедлива для сигналов с ограниченным спектром. Реальные сигналы – носители информации – имеют конечную длительность. Спектр таких сигналов не ограничен, т. е. реальные сигналы не соответствуют в точности модели сигнала с ограниченным спектром, и применение теоремы Котельникова к реальным сигналам связано с погрешностями при восстановлении

25

сигналов по формуле (1.10) и неопределенностью выбора шага дискретизации или частоты отсчетов.

Для практических задач, однако, идеально точное восстановление функций не требуется, необходимо лишь восстановление с заданной точностью. Поэтому теорему Котельникова можно рассматривать как приближенную для функций с неограниченным спектром. На практике частоту отсчетов часто определяют по формуле

где k3 – коэффициент запаса (обычно 1,5 < k3 < 6 ); fmax – максимальная допустимая частота в спектре сигнала x(t), например, с учетом доли полной энергии, сосредоточенной в ограниченном частотой спектре сигнала.

Из вышеизложенного следует, что преобразование непрерывной информации в дискретную может сопровождаться сжатием информации (уменьшением ее количества). Квантование по уровню – один из способов сжатия информации.

Квантование и дискретизация находят широкое применение в преобразователях информации, используемых при связи ЭВМ с конкретными объектами (процессами).

1.4. Формы представления информации

Информация всегда представляется в виде сообщения, которое передается некоторой физической средой. Носителем информации может быть любая предметная среда, которая меняет состояние в зависимости от передаваемой информации. Это может быть бумага, на которой информация изображается либо знаками, либо специальными отметками (например, перфорация); магнитный материал (лента, диск и т. п.), состояние которого меняется с помощью магнитной головки; электрический сигнал, у которого изменяется какой-либо

26

параметр (частота, амплитуда); оптический носитель, работа которого основана на оптическом методе считывания.

Различают две формы представления информации:

статическую Ic, (рис. 1.5а) и динамическую Iд (рис. 1.5б).

Возможность передачи сообщения посредством электрического сигнала реализуется с помощью канала связи, соединяющего источник и приемник информации (рис. 1.6). Чтобы передать информацию, необходимо ее предварительно преобразовать.

IС

Рис. 1.5. Формы представления информации

Рис. 1.6. Информационная модель канала связи

Кодирование – преобразование сообщения в форму, удобную для передачи по данному каналу. В качестве простого примера можно привести передачу сообщения в виде телеграммы. Все символы кодируются с помощью телеграфного кода.

Декодирование – операция восстановления принятого сообщения. В систему связи необходимо ввести устройства для кодирования и декодирования информации (рис. 1.7). Теоретическое обоснование таких систем дал в своих работах

27

К. Шеннон. Рядом теорем он показал эффективность введения кодирующих и декодирующих устройств, назначение которых состоит в согласовании свойств источника информации со свойствами канала связи. Одно из них (кодирующее устройство, или кодер) должно обеспечить такое кодирование, при котором путем устранения избыточности информации существенно снижается среднее число символов, приходящееся на единицу сообщения. При отсутствии помех это непосредственно дает выигрыш во времени передачи или в объеме запоминающего устройства. Такое кодирование называют эффективным (или оптимальным), так как оно повышает эффективность системы. При наличии помех в канале передачи оно позволяет преобразовать входную информацию в последовательность символов, наилучшим образом отвечающую задачам дальнейшего преобразования. Другое кодирующее устройство (кодер канала) обеспечивает заданную достоверность при передаче или хранении информации путем введения дополнительно избыточности информации. Такое кодирование называют избыточным или помехоустойчивым. Помехоустойчивость достигается учетом не только интенсивности помехи, но и ее статистических закономерностей.

Рис. 1.7. Информационная модель канала связи с шумами

Целесообразность устранения избыточности сообщения методами эффективного кодирования с последующим перекодированием помехоустойчивым кодом обусловлена тем, что избыточность источника сообщения в большинстве случаев не согласована со статистическими закономерностями помехи

28

вканале связи и поэтому не может быть полностью использована для повышения достоверности принимаемого сообщения. Кроме того, избыточность источника сообщений иногда является следствием ряда причин.

Если избыточность источника сообщений мала и помехи

вканале связи практически отсутствуют, то введение как кодера источника, так и кодера канала нецелесообразно. Если избыточность источника сообщений высока, а помехи весьма малы, то целесообразно ввести кодер источника. Если избыточность источника мала, а помехи велики, то целесообразно ввести кодер канала. При большой избыточности и высоком уровне помех целесообразно ввести оба дополнительных кодирующих (и декодирующих) устройства. Большинство кодов, используемых при кодировании информации без учета статистических свойств источника и помехи в канале связи, основано на системах счисления.

1.5. Передача информации

Современные вычислительные средства часто используются в составе вычислительных систем или сетей. В этих случаях необходимо решать вопросы не только эффективного представления информации, но также вопросы передачи информации по каналам связи без искажений. В качестве каналов связи (рис. 1.8) могут использоваться: непосредственная связь (НС) пользователя вычислительными средствами, телефонный канал (ТлК), телеграфный канал (ТгК), радиоканал (РК), телевизионный канал (ТвК), другие виды связи.

Вид канала определяет характер и величину помех, которые при этом появляются. Поэтому инженерпроектировщик ЭВМ должен учитывать эти обстоятельства при разработке технических, математических и программных средств.

29

Пользователи

1 … m

РК

Пользователи

Рис. 1.8. Каналы связи в вычислительных сетях

Рассмотрим некоторые общие вопросы, возникающие при передаче информации.

1.5.1. Передача информации по каналу без помех

Если через канал связи без помех передается последовательность дискретных сообщений длительностью Т, то скорость передачи информации по каналу связи (бит/с)

где I – количество информации, содержащейся в последовательности сообщений.

Предельное значение скорости передачи информации называется пропускной способностью канала связи без помех

с = vmax.

30