1.15. Частичные пределы, верхний и нижний пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Пусть – некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел (). Выберем из члены с номерами :

.

Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема 3. Если , то любая подпоследовательность сходится к при .

Определение 3. Число называется предельной точкой (или частичным пределом) последовательности , если из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к .

Можно и по другому сформулировать определение предельной точки.

Определение 4. Число называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности .

На языке последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса формулируется так.

Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из теоремы 3 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Из теоремы 4 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Определение 5. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается .

Очевидно, если сходится, то . Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то полагают .

Пример 2. Доказать расходимость последовательности .

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности и (). Очевидно, что , . Таким образом, последовательность имеет две предельные точки: и , а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Пример 3. Найти все предельные точки последовательности , верхний и нижний пределы этой последовательности.

Решение. Каждое из чисел , , , , , встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку . Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности . Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки , не содержащая ни одного члена последовательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является , а наибольшей 1, т.е. , .

1.16. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, т.е. .

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для всякого сколь угодно большого числа существует такой номер , начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют неравенству .

С геометрической точки зрения это означает, что в любой окрестности нуля находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее – бесконечно много.

Если последовательность – бесконечно большая, то пишут . Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут (). Отметим, что бесконечно большая последовательность не является сходящейся и символическая запись означает только, что последовательность является бесконечно большой, но вовсе не означает, что она имеет предел.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку вне любой окрестности нуля имеется член последовательности (даже все члены, начиная с некоторого номера). Обратное неверно: неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Пример 1. Пусть . Доказать, что последовательность : а) неограниченная; б) не является бесконечно большой.

Решение.

а) Заметим, что член последовательности с номером равен и больше . Это и означает по определению, что – неограниченная последовательность.

б) Очевидно, что в интервале находятся все члены последовательности с нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бесконечно много членов последовательности. Отсюда следует, что не является бесконечно большой.

Теорема 1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть и - бесконечно малые последовательности. Тогда для любого ε>0 существуют номера n₁(ε/2) и n₂(ε/2) такие, что для всех n> n₁(ε/2)выполняется неравенство |x_n|<ε/2 и n₂(ε/2)|y_n|<ε/2. Тогда, полагая n₀=max(n₁(ε/2), n₂(ε/2)), получим, что для любого n>n₁|x_n± y_n|≤|x_n|+|y_n|<ε/2+ε/2=ε. Следовательно, {x_n±y_n} – бесконечно малая последовательность.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть {х_n} – бесконечно малая последовательность, а {у_n} – ограниченная последовательность, т.е. существует такое число М>0, что для всех натуральных номеров выполняется неравенство │y_n│≤М.

Зададим ε>0, в силу определения бесконечно малой последовательности существует такой номер N, что для всех n≥N выполняются неравенства │x_n│<. Поэтому для всех n≥N имеем │x_ny_n│=│x_n││y_n│<M=ε, что и означает, что последовательность { x_ny_n} бесконечно малая.

Следствие.Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3. Если последовательность – бесконечно большая, то начиная с некоторого номера определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если последовательность – бесконечно малая и , то последовательность является бесконечно большой.

Пример 2. Доказать, что последовательность является: а) бесконечно большой при ; б) бесконечно малой при .

Решение.

а) Докажем, что последовательность удовлетворяет определению бесконечно большой, т.е. такое, что выполняется неравенство

. (1)

Зададим произвольное . Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим

. (2)

Положим . Тогда выполняется неравенство (2), а значит, и (1). Таким образом, такое, что . Это и требовалось доказать.

б) Если , то и, следовательно, – бесконечно малая. Пусть . Тогда . Так как , то последовательность является бесконечно большой, а последовательность – бесконечно малой в силу теоремы 3. Таким образом, последовательность – бесконечно малая при .