Свойства сходящихся рядов

Теорема 1. Если все члены сходящегося ряда умножить на число , то ряд так же сходится и его сумма равна . Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

Доказательство. Обозначим -ю частичную сумму ряда через . Тогда

.

Следовательно, , т.е. ряд сходится и имеет сумму .

Покажем теперь, что если ряд расходится, а число , то и ряд расходится. Допустим противоположное, что ряд сходится и имеет сумму . Тогда .

Отсюда получаем: , т.е. ряд сходится, что противоречит условию.

Теорема 2. Если сходится ряд и сходится ряд , а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , (), причем сумма каждого равна соответственно .

Доказательство. Обозначим -е частные суммы рядов , , и , через , и соответственно. Тогда

,

т.е. каждый из рядов сходится, и сумма его равна соответственно.

Теорема 3. Если сходится ряд , то сходится и любой ряд, полученный из данного перегруппировкой его членов.

Теорема 4. Если сходится ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием конечного числа членов, то сходится и исходный ряд, а если сходится числовой ряд , то сходятся и ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов.

Доказательство. Сумму первых отброшенных членов обозначим . Оставшиеся члены ряда называются -м остатком ряда. Рассмотрим последовательность частичных сумм оставшихся членов : , , , …. Данная последовательность по условию теоремы является сходящейся, т.е. является некоторым числом . Рассмотрим последовательность частичных сумм исходного ряда , которая является сходящейся, т.к. . Это и означает, что исходный числовой ряд тоже сходится. Вторая часть теоремы доказывается с помощью аналогичных рассуждений.

Пример 6.Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный ряд получен из гармонического

отбрасыванием первых десяти членов. Следовательно, он

расходится.

Ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа членов называют -м остатком исходного ряда и обозначают.

Теорема 5. Для того, чтобы ряд был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Так как , где - частичная сумма ряда, то переходя к пределу, получаем:

Необходимый признак сходимости числового ряда.

Нахождение - й частичной суммы и ее предела не удобно для практического использования. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают необходимые и достаточные признаки сходимости. Рассмотрим необходимый признак сходимости.

Теорема( необходимый признак сходимости) . Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Доказательство. Пусть числовой ряд сходится и . Тогда и (при и ()). Поскольку при , получаем: .

Следствие. Если , т.е. необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, то ряд расходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Ряд расходится, т.к.

,

т.е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

Решение: Данный ряд расходится, т.к. .

Необходимый признак сходимости числового ряда не является достаточным: из условия не следует что, ряд сходится. Существует множество расходящихся числовых рядов, для которых . Например, рассмотрим гармонический ряд

.

Очевидно, что . Однако гармонический ряд расходится. Докажем расходимость гармонического ряда:

(1)

(2)

Очевидно сумма ряда (2) больше , чем ряда (1). Ряд (2) расходится, так как , значит, и гармонический ряд является расходящимся.