Математическая постановка задачи

Математически САУ будет устойчивой, если

lim xсв(t)=0 , (3.2)

t

в противном случае система неустойчива.

Свободное движение системы описывается дифференциальным уравнением , которое для линейных САУ имеет вид

^{= 0, (3.3)}

где коэффициенты а_i постоянны (i=1,...,n). Решение дифференциального уравнения (3.3) имеет вид:

хсв(t)= c ₁ exp(p₁t) + c ₂ exp(p₂t) +...+ c _n exp(p_nt) (3.4)

где c_i , i=1,…,n постоянные интегрирования, которые определяют из начальных условий, а р_i , i=1,…,n - корни характеристического уравнения САУ.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

a ₀ р ⁿ + a ₁ р ^n-1 +...+ a _n-1 р + а _n = 0 . (3.5)

В зависимости от вида корней уравнения (3.5) переходный процесс будет затухающим или расходящимся и, соответственно, система будет устойчивой или неустойчивой.

Оценка устойчивости сау по корням характеристического уравнения

При оценке устойчивости необходимо рассмотреть три возможных случая.

1. Корни вещественны.

2. Пары комплексно-сопряженных корней.

3. Корни чисто мнимые.

Если все корни вещественные и отрицательные, то есть

р _i = -  _i, i= 1,…,n, ά_i >0

в этом случае

^хсв(t). (3.6)

Если все корни вещественные и отрицательные, то каждое слагаемое хсв в формуле (3.6) стремится к нулю при t и, следовательно, хсв(t)  0, то есть необходимое и достаточное условие устойчивости (3.2) выполнено и САУ устойчива.

Если все корни вещественные, но среди них имеется хотя бы один положительный корень р _к =  _к  0 , то соответствующее ему слагаемое в (3.6) будет иметь вид с_к exp(_кt) и будет стремиться к  при t.

При этом, хотя все слагаемые в хсв(t) , кроме одного, будут затухать, переходный процесс САУ в целом будет расходящимся, а САУ - неустойчивой.

Если все корни вещественные, отрицательные и есть пара комплексно- сопряженных корней р _k =-+j . р _k+1=--j. Тогда комплексным корням в Хсв(t) соответствуют слагаемые А= с_к exp[-(-j)t] и B= с_к exp[-(+j)t]. C учётом формул Эйлера можно записать

А+В= De^{-a t}sin(t+). (3.7)

Сумма слагаемых, соответствующих комплексно-сопряжённым корням, представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой  и амплитудой De^{-a t}.

Параметр  - это параметр затухания огибающей k – кривой переходного процесса.

при 0

Рис. 3.4

при >0

Рис. 3.5

Таким образом, если действительная часть комплексного корня , САУ устойчива, в противном случае - нет.

В случае чисто мнимых корней  и р _к =j . р _k+1=-j.

Составляющая, соответствующая данным корням в хсв(t) имеет вид

с_кexp(j)+с_кexp(-j)=Аsin(t+). (3.8)

Таким образом, имеем незатухающие колебания с угловой частотой  и постоянной амплитудой А (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Таким образом, можно сформулировать критерий устойчивости для устойчивости линейных САУ необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения (3.5) были отрицательными, а если хотя бы один вещественный корень или вещественная часть хотя бы одной пары комплексных корней положительны, то переходный процесс будет расходящимся и САУ будет неустойчивой.

43

Re(Pi)

Рис. 3.7

Наглядно графически необходимые и достаточные условия устойчивости САУ можно представить, изобразив корни (3.5) в комплексной плоскости. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно чтобы все корни лежали в левой полуплоскости (рис. 3.7). Если корни находятся на мнимой оси, то говорят, что САУ находится на границе устойчивости.

На практике большинство САУ являются нелинейными, то есть реальные характеристики звеньев и реальные дифференциальные уравнения приходится приближенно заменять линейными. Закономерность такого подхода обосновал Ляпунов.

Справедливы три теоремы линеаризации.

1. Если линеаризованная система устойчива, то

устойчива исходная нелинейная система.

2. Если линеаризованная система неустойчива, то

неустойчива исходная нелинейная система.

3. Если линеаризованная система находится на границе

устойчивости, то для определения устойчивости исходной нелинейной системы нужно провести дополнительные исследования с целью проверки lim xсв(t)=0.

Проверка устойчивости САУ путем вычисления корней характеристического уравнения (3.5) не всегда возможна из-за высокого порядка решаемых уравнений. На практике использует алгебраические и частотные критерии устойчивости t

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица детально рассмотрен в [1] на с. 47-48. Назначение, описание и особенности применения частотных критериев устойчивости линейных САУ приведены на с. 48-54 [1].