Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

g3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
388.89 Кб
Скачать

ГЛАВА 3. СТАНДАРТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§1. Биномиальное распределение

Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли.

Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n, p , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой Бернулли:

P(ξ = m)P(m, p)= Cmn pm (1 p)nm, m = 0,1,...n, n =1,2,...., 0 p 1

Случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами n, p , представляет собой число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления этого события равняется p .

График биномиального распределения вероятностей представлен на Рис. 1.

0.4

P(m,p)0.2

00

2

4

6

8

 

 

m

 

 

Рис. 1. Биномиальное распределение P(m, p) при n = 8 и p = 0.2 .

Найдем основные числовые характеристики биномиального распределения. Для этого сначала введем обозначения. Пусть ξ – (СВ) числа появлений события А в n независимых испытаниях, 0,1, … n ее возможные

n

значения. Тогда ξ можно представить в виде ξ = ξi , где ξi (СВ) числа i=1

появлений события А в i-ом испытании, которая принимает значения либо 0, либо 1 с вероятностями равными (1 p) и p соответственно. Следовательно,

M (ξi )= p, D(ξi )= p(1 p),

так что по свойству математического ожидания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ)= M ξi

=

M

(ξi )= np .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1 i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, дисперсия биномиального распределения равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ)= D ξi =

D(ξi )= np(1 p), σ(ξ)= np(1 p).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1 i=1

 

 

 

 

 

 

 

μ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем

коэффициент асимметрии

A

 

=

 

и коэффициент

эксцесса

 

 

 

μ4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

σ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ek =

3 . Для этого найдем соответствующие центральные моменты

 

σ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

2

=ν

2

ν 2

= D(ξ), μ

3

=ν

3

3ν ν

+ 2ν

3, μ

4

=ν

4

 

4ν ν

+ 6ν

2ν

2

3ν 4 .

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 2

 

 

1

 

 

 

 

1 3

 

 

1

 

 

1

Так как

по

 

определению

начальный

момент

второго

 

порядка равен

ν2 = m2P(m, p) и ν2 = D(ξ)+ M 2 (ξ)= np(1 p)+ (np)2 , то, с одной стороны,

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν

2

 

 

 

m

 

(n

m)

 

 

 

 

 

ν

 

 

nν

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

m

2

 

 

 

 

P(m, p)=

 

3

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

m

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а, с другой стороны,

νp2 = n(q p)+ 2 pn2 ,

откуда следует ν3 = npq(q p)+3q(np)2 + (np)3 . С учетом полученных соотношений для центрального момента третьего порядка получим

μ3 = npq(q p), q 1 p ,

так что коэффициент асимметрии равен

A =

 

μ3

 

=

(q p).

 

 

s

σ3

 

 

npq

Аналогично, коэффициент эксцесса

 

 

 

 

 

Ek =

μ4

3

=

1 6 pq

.

 

 

 

σ 4

 

 

 

npq

Мода биномиального распределения определяется выражением

Mo = trunc[(n +1)p],

где функция trunc[(n +1)p] обозначает целую часть числа [(n +1)p]. Если число [(n +1)p] целое, то распределение имеет два модальных значения [(n +1)p] и [(n +1)p]-1.

Медиана биномиального распределения равна

Me = np ,

если np целое число. Если же np дробное число, то медиана равна одному из двух целых чисел trunc[np]±1, ближе всего расположенных к np .

Из Рис. 1. видно, что последовательность вероятностей P(m, p) сначала

монотонно возрастает с

увеличением

m

до

достижения

моды

Mo = trunc[(n +1)p]= trunc[1.6]=1

(или двух

модальных

значений), а

затем

начинает монотонно падать.

Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет геометрическое распределение, если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой:

P(m)= qm1p,

где ξ (СВ) числа испытаний, проводимых до первого появления события А; p вероятность появления события А в каждом отдельном испытании, q =1p ; m число испытаний, проводимых до первого появления события А. Геометрическое распределение имеет следующие числовые характеристики:

M (ξ)= 1 , D(ξ)= q .

p p2

Таким образом, математические испытания геометрического распределения удовлетворяют правилу пропорциональности: для получения события А

дважды в среднем потребуется в 1p раз больше испытаний, чем для

получения одного события.

Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет гипергеометрическое распределение, если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой:

 

Cm Cnm

P(m)=

M N M

,

 

 

Cn

 

N

где N – общее число элементов некоторого множества А, M – число элементов подмножества А, обладающих некоторым свойством; испытание состоит в отборе наугад n элементов, среди которых m обладают указанным свойством; ξ – (СВ) числа наугад выбранных элементов, обладающих указанным свойством.

Гипергеометрическое распределение имеет следующие числовые характеристики:

M (ξ)= nM

, D(ξ)= nM (N M )(N n).

N

N 2(N 1)

Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет полимодальное

распределение, если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой:

P(X

, X

2

, X

3

...X

k

)=

 

n!

 

 

p X1 p X 2

... p X k ,

X ! X

 

!...X

 

 

1

 

 

 

 

2

k

! 1 2

k

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

где X1– число элементов, обладающих свойством А,

X2 – число элементов,

обладающих свойством В, … X k – число элементов, обладающих свойством

С; A + B +....+C = n – общее число элементов; p1

вероятность выбора

элемента, обладающего свойством А,

p2 – вероятность выбора

элемента,

обладающего свойством В, … pk

вероятность

выбора

элемента,

обладающего свойство С; испытание состоит в отборе n элементов, среди которых X1 обладают свойством А, X2 свойством В, …. X k свойством С;

ξ – (СВ) числа наугад выбранных элементов, обладающих указанными свойствами.

§2. Распределение Пуассона

Определение. Дискретная случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром λ , если вероятности отдельных ее возможных значений определяются формулой:

P(ξ = m)P(m, λ)= λm exp(λ), m!

m = 0,1,..., λ > 0

График распределения Пуассона представлен на Рис. 2.

0.8

0.6

P(m)0.4

0.2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

4

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Распределение Пуассона P(m, λ)

при λ = 0.5 .

 

 

Найдем основные числовые характеристики распределения Пуассона.

Разложим экспоненту eλ в ряд Маклорена eλ

 

 

λm

 

λm1

 

 

=

 

=

. Тогда

 

 

m!

(m 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=0

m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λm1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ)= mP(m, λ)= λeλ

 

 

= λeλeλ

= λ .

 

 

 

 

 

 

(m 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=0

 

 

 

 

 

 

m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, для среднего квадрата получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

P(m, λ)=

 

λ

λm1

 

 

λ

 

(1 + λ)e

λ

 

2

 

 

 

M ξ

 

= m

 

λe

 

 

 

m

 

 

 

= λe

 

 

 

 

= λ + λ ,

 

 

 

 

(m 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m=0

 

 

 

 

 

 

m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так что дисперсия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ)

 

 

ξ

2

2

 

= λ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= M

(M (ξ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остальные числовые характеристики распределения Пуассона

следующие:

коэффициент асимметрии A = μ3 = 1

,

коэффициент эксцесса

 

μ4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

σ3

 

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

Ek =

3 =

. Если λ дробное число, то мода Mo = trunc[λ], а если число λ

 

 

σ 4

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

целое число, то распределение Пуассона имеет два модальных значения λ и λ 1. Медиана распределения Пуассона равна Me = λ , если λ целое число. Если же λ дробное число, то медиана равна одному из двух целых чисел trunc[λ]±1, ближе всего расположенных к λ .

Отметим, что последовательность вероятностей P(m, p) сначала монотонно возрастает с увеличением m до достижения моды (или двух модальных значений), а затем начинает монотонно убывать.

§3. Закон равномерного распределения

Определение. Распределение непрерывной (СВ) называют равномерным, если на интервале, содержащем возможные значения непрерывной (СВ), плотность распределения является константой, т.е.

0,

x a

 

f (x)= A,

a < x b

(1)

 

x > b

 

0,

 

В точках x = a, x = b плотность

f (x)

терпит разрыв. Константу А найдем из

условия нормировки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x)dx = Adx = A(b a)=1,

 

 

1

 

−∞

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

так что A =

. Для нахождения функции распределения воспользуемся

b a

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свойством F(x)=

f (x)dx . При этом получим:

 

 

 

−∞

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) при (−∞ < x a)

F(x)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0dx = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

1

 

 

x

 

x a

 

 

2) при (a < x b) F(x)= 0dx +

 

 

 

dx =

;

 

b a

 

 

 

 

 

−∞

 

 

a

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) при (x > b)

F(x)

a

 

 

1

 

b

 

 

 

x

 

 

 

 

= 0dx +

 

 

dx + 0dx =1;

 

b

a

 

 

 

 

−∞

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x)

=

x

, a < x b

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

x > b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда видно, что функция распределения F(x) всюду непрерывна. Определим числовые характеристики равномерного распределения.

С учетом (1) математическое ожидание и дисперсия равны:

1

b

 

 

M (ξ)= xf (x)dx =

xdx = a +b

,

b a

−∞

a

2

 

 

 

 

2

 

1

b

2

 

(b a)2

 

b a

 

D(ξ)=

(x M (ξ))

f (x)dx =

 

(x M (ξ))

dx =

 

, σ(ξ)=

 

 

.

b a

12

2

3

−∞

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если (α, β) (a, b), то по свойству функции распределения (2)

P(α ξ < β)= F(β)F(α)= βb αa .

Пример. Жеглов и Фокс условились встретиться в ресторане между 0 и 2 часами. Пришедший первым Жеглов ждет Фокса в течение 10 минут, после чего уходит, а Фокс ждет 20 мин. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если моменты прихода каждого из них независимы и распределены равномерно в интервале (0,2).

Решение. Пусть ξ (СВ) времени прихода Жеглова, x возможные значения ξ ; η (СВ) времени прихода Жеглова, y возможные значения η . По задачи плотность вероятности системы (СВ) {ξ,η}равна

f

ξη

(x, y)= f

ξ

(x)f

(y)=

 

1

=

1

.

 

 

 

 

 

η

(2

0)2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

P[(ξ,η) D]=

1

∫∫dxdy,

(1)

 

4

D

 

 

 

 

где по условию задачи область интегрирования ограничена следующими линиями:

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x = 2, y = 2, y = x +

6 .

 

 

(2)

 

D :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x = 0, y = 0, y = x

3

 

 

 

Учитывая (2), из (1) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

P[(ξ,η) D]=

∫∫dxdy =

∫∫dxdy + ∫∫dxdy + ∫∫dxdy ,

(3)

 

4

D

4

 

D2

D3

 

 

 

 

 

D1

 

 

здесь

 

 

1

,

y = x +

1

 

x = 11 , y = x

+ 1

D

x =

3

6

, D

 

6

 

6

:

 

 

:

 

1

 

 

 

 

 

2

 

1

, y = x

1

.

 

x = 0, y = 0.

 

 

x =

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,x = 2, y = 2,

,D3 : x = 11 , y = x 1 . (4)

6 3

С учетом (4) из (3) окончательно найдем

P[(ξ,η) D]=

1

1/ 3 x+1/ 6 11/ 6 x+1/ 6

2

2

67

 

dx dy + dx dy + dx dy

=

.

4

288

 

0

0

1/ 3 x1/ 3

11/ 6

x1/ 3

 

 

§4. Интеграл Эйлера-Пуассона

Интегралом Эйлера-Пуассона называют несобственный интеграл вида

I ex2 dx = 2ex2 dx .

−∞ 0

Этот интеграл часто будет встречаться в дальнейшем. Вычислим его способом Пуассона. Для этого рассмотрим двойной интеграл

e(x2 +y2 )dxdy = I 2 . 4

0 0

Проведем вычисление этого интеграла в полярных координатах

x = ρ cos(ϕ)y = ρ sin(ϕ)

ρ2 = x2 + y2

Тогда

∞∞

(x2 +y2 )

π / 2

ρ2

 

π

ρ2

 

π

 

I

2

 

∫ ∫e

dxdy =

e

 

ρdρdϕ =

 

e

 

ρdρ =

 

=

 

 

,

 

2

 

4

4

0 0

 

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда следует, что I = π , что и требовалось получить.

 

 

§5. Нормальный закон распределения

 

 

 

Среди всех законов распределения (СВ) наибольшее теоретическое и

практическое значение имеет нормальный закон распределения. Дело в том,

что согласно центральной предельной теореме он является предельным

законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма

часто встречающихся типичных условиях.

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Распределение непрерывной (СВ)

ξ называют нормальным

(кратко

 

2

если

соответствующая

ей

плотность

распределения

N a,σ

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выражается формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

=

1

 

 

 

(x a)2

 

− ∞ < x < ∞,σ > 0 ,

 

 

fξ x, a,σ

 

 

σ

2π

 

exp

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a,σ параметры распределения.

 

Используя интегральную связь функции

распределения с плотностью распределения, представим функцию

нормального распределения в удобном для табулирования виде

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

F(x)

= fξ (x, a,σ )dx

 

 

 

 

 

 

 

= Φ1

σ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

где функция Лапласа Φ (z)

 

 

1

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

e

2 dt , для которой составлены таблицы.

 

 

 

1

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

Кроме того, составлены таблицы и для функции Φ0 (z)=

21π

z

e

2 dt . Между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

этими функциями существует очевидное соотношение Φ1(x)= Φ0 (x)0.5 .

График нормального распределения представлен на Рис. 3.

 

 

 

0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x,a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Нормальное распределение f (x,3,0.8).

 

 

Для выяснения вероятностного смысла параметров a,σ определим основные числовые характеристики (СВ), распределенной по нормальному закону. По свойству математического ожидания M (ξ)= a + M (ξ a), где

M (ξ a)= (x a)f (x, a,σ)dx = 0 ,

−∞

так как подынтегральная функция четная, а пределы симметричные, так что

параметр

 

 

a

нормального распределения является математическим

ожиданием M (ξ)= a , и, следовательно,

Mo = Me = a . Аналогично, центральный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

момент

третьего

 

порядка

μ3 =

(x a)3 f (x, a,σ)dx = 0 ,

так

что коэффициент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ3

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

асимметрии

A

=

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

σ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя интеграл Эйлера-Пуассона, дисперсию вычислим

непосредственно по определению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ)=

 

 

 

2

f (x, a,σ )dx

=

 

1

 

 

 

2

 

(x a)2

 

 

t = x a

=

(x a)

 

 

 

 

(x a)

 

exp

 

2σ

2

dx =

σ 2

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ 2π −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =σ 2dt

 

2σ

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2σ

2

 

2

 

t2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

=

 

t

 

t

 

 

t

e

 

 

 

t

 

=σ

 

 

π

 

exp

 

dt =

 

π

 

 

2

 

exp

 

dt

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так

 

что

 

параметр

σ 2

нормального

распределения

является

дисперсией

D(ξ)=σ 2 .

Центральный момент четвертого порядка вычислим по методу дифференцирования интеграла по параметру. Для этого в качестве дифференцируемого интеграла используем интеграл Эйлера-Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0

(h)eh2 x2 dx =

π

, h =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2h

 

σ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда центральный момент четвертого порядка

 

 

 

 

 

 

μ4

=

1

 

(x a)2

1

 

1

I0

 

=

3 π

= 3σ 4

σ 2π

(x a)4 exp

 

2

dx = −

σh

2π

2h h

(h)

5

 

 

−∞

 

2σ

 

h

 

 

4h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ 2π

 

и, следовательно, коэффициент эксцесса нормального распределения

Ek = σμ44 3 = 0 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]