Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

g3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
388.89 Кб
Скачать

Рис. 9. Плотность χ2 - распределения для различных степеней свободы m : при m =1– пунктирная линия; при m = 3 – сплошная линия.

Применение χ2 - распределения основано на его интерпретации как распределения суммы квадратов m независимых (СВ), распределенных по закону N(0,1). Докажем это утверждение.

Теорема. Если m независимых (СВ) ξ j, j =1,2,...m одинаково распределены по

закону N(0,1),

то (СВ) χ2

 

m

2j

имеет χ2 - распределение.

 

= ξ

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. По условию теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

2

 

 

 

 

f

 

(x)=

 

 

 

 

 

.

(1)

 

 

 

2π

exp

2

 

 

ξj

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначения: η = ξ2 ,

 

 

 

 

 

 

 

Введем

x

 

возможные значения

(СВ) ξ ; y

возможные значения (СВ) η . Найдем плотность

fη(y).

Для этого найдем

соответствующую ей функцию распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fη(y)= P(η

< y)=

 

2

 

 

= P(

y < ξ

<

y )= Fξ

(

y )Fξ (

 

y ).(2)

 

 

P ξ

 

< y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда с учетом (1) плотность распределения (СВ) η принимает вид

 

 

f

(y)=

dFη(y)

=

1

f

 

( y )+

 

1

 

f

 

(

y )=

1

 

 

 

y

 

(3)

 

 

dy

 

 

ξ

2

 

 

ξ

 

exp

2

, y > 0 .

 

η

 

 

 

 

 

2

 

y

 

 

y

 

 

 

 

2πy

 

 

 

 

 

Учитывая (3), для плотности fη(y) найдем характеристическую функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

1

 

 

 

 

 

 

 

ity

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1/ 21

t

 

 

 

 

 

 

1

 

 

f

(t)=

 

e

f

(y)dy =

 

 

 

t

dt =

 

 

2

=

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

η

 

 

 

 

η

 

 

 

π(1 2it)

 

 

 

 

 

 

 

π(1 2it)

 

(1 2it)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

откуда по свойству характеристических функций для (СВ) χ2 = η j

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fχ2 (t)= fηj (t)=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12it)m / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (4) с помощью обратного преобразования Фурье получим

 

 

 

 

 

 

itz

m

1

z

 

n

 

 

 

m

1

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

1

 

 

1

e

e

i

 

e

 

 

 

fχ2 (z)=

e

itz fχ2

(t)dt =

 

dt =

z

 

 

t

2 etdt =

z

 

 

 

 

,

π

π

 

m / 2

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

(1 2it)

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

π 2 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

χ2 - распределение имеет следующие числовые характеристики:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2Γ

 

 

 

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

(x)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 e 2 dx =

 

 

t 2 e

 

 

 

 

 

 

M χ

=

xf

χ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

= m,

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

m

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

χ

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x m)

 

x

2

 

e

 

 

2 dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

m2

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

+ 2

mΓ

+1

+

 

 

Γ

 

 

= 2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из условия экстремума

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следует,

что мода для χ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f (x)= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

распределения равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mo = m 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§11. Распределение Фишера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение.

Непрерывная

 

случайная

величина ξ

 

 

имеет

 

 

распределение

Фишера с m1 и m2 степенями свободы, если плотность ее распределения выражается формулой

 

 

 

 

0, x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

+m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

ξ

(x, m , m

2

)=

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

2

.

 

1

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

 

x

 

 

 

, x > 0

 

 

 

 

 

 

m

m

2

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График плотности распределения Фишера представлен на Рис. 10.

1

 

 

 

 

 

f(x,2,10)

 

 

 

 

 

f(x,10,50)0.5

 

 

 

 

 

0

0

1

2

3

4

 

 

 

x

 

 

Рис. 10. Плотность распределения Фишера для различных степеней свободы m1, m2 : при m1 =10, m2 = 50 – пунктирная линия; приm1 = 2, m2 =10 – сплошная линия.

Применение распределения Фишера основано на следующей теореме.

Теорема. Если ξ и η независимые (СВ),

имеющие χ2 - распределение

соответственно с m

и m

степенями свободы, то (СВ) F = ξ m2

подчиняется

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η m1

 

распределению Фишера с (m1, m2 ) степенями свободы.

 

Доказательство. По условию теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fξ

(x, m1)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

exp

 

 

,

x > 0 ,

(1)

 

 

m

 

 

 

m

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Γ

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fη

(y, m2 )

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

exp

 

 

, y > 0 .

 

 

m

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x возможные значения (СВ)

ξ ; y возможные значения (СВ) η ; z

возможные значения (СВ)

F . Тогда z =

m2

 

x

 

и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

zy, xz =

 

 

y .

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из условия нормировки

∞∞

fF (z)dz = ∫ ∫ fξ (x)fη(y)dxdy =1

0

0 0

с учетом равенств (1-3) следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)fη(y)dy = m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fF (z)= xz fξ

 

yfξ m

 

zy fη(y)dy =

 

 

 

 

 

 

 

0

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

+m

1

 

 

 

 

y

 

 

 

 

m

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

m1 +m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exp 2

 

+ m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

z dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

m

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

1

 

Γ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

m1

 

 

m1

1

 

 

 

 

m1

 

 

m1 +m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

m1

+m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

t

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

e

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

1

Γ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

2

 

Γ m1 +m2

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 +m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

1

+

z

 

 

 

2

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

1

Γ

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

Математическое ожидание и дисперсия распределения Фишера определяются по формулам

 

m2

 

2m2

(m + m 2)

 

 

M (F )=

> 2 , D(F )=

 

2

1

2

 

, m2

> 4 .

 

, m2

 

 

 

m2 2

m

(m 2)2 (m 4)

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

§12. Распределение Стьюдента

 

 

Определение. Непрерывная

случайная величина

ξ имеет

распределение

Стьюдента с m степенями свободы, если плотность ее распределения выражается формулой

 

 

m +1

 

 

 

 

 

m+1

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

fξ (x, m)=

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

, − ∞ < x < ∞. .

m

 

 

 

1

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

πm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График плотности распределения Стьюдента представлен на Рис. 11.

0.4

f(x,1)

f(x,8)0.2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

0

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Рис. 11. Плотность распределения Стьюдента для различных степеней свободы m : при m = 8 – пунктирная линия; при m =1– сплошная линия.

 

Применение распределения Стьюдента основано на следующей

теореме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если ξ и η независимые (СВ), причем ξ

имеет распределение

N(0,1), а η

χ2 - распределение соответственно с m степенями свободы, то

(СВ)

T = ξ

m

подчиняется

 

распределению

 

 

 

Стьюдента с

m степенями

 

η

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. По условию теоремы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fξ (x)=

1

 

 

 

x

2

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

exp

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fη(y, m)=

 

 

 

 

 

y 2

exp

 

 

 

, y >

0 .

(2)

 

 

 

 

m

m

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x возможные значения (СВ) ξ ; y

возможные значения (СВ) T . Тогда z = x ym x = zmy , xz =

Из условия нормировки

возможные значения (СВ) η ; z

и, следовательно,

my . (3)

∞∞

 

 

 

 

fT (z)dz = ∫ ∫ fξ (x)fη(y)dxdy =1

0

0 0

 

 

 

 

с учетом равенств (1-3) следует, что

 

 

 

 

 

1

z

y

fT (z)= xz fξ (x)fη(y)dy =

 

 

 

m

y fξ

fη(y)dy =

0

 

0

 

m

 

 

 

 

=

m

 

1

 

m

 

 

2

2

Γ

 

2πm

2

 

 

 

 

1 + z2 m2+1 = m

Γ m πm2

m1

 

y

 

 

z

2

 

 

 

 

y

2

 

exp

1

+

 

dy =

 

2

m

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m+1

 

 

 

m +1

 

 

 

 

m+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t

Γ

 

2

 

 

 

 

z

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

dt =

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

m

 

 

1

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

πm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось доказать. Распределение Стьюдента обладает следующими числовыми характеристиками:

M (ξ)= 0, D(ξ)= mm2 (m > 2), As = 0 (m > 3), Mo = Me = 0.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]