g3

закону N(0,1),

то (СВ) χ2

m

2j

имеет χ2 - распределение.

= ∑ξ

j=1

Доказательство. По условию теоремы

1

x

2

f

(x)=

−

.

(1)

2π

exp

2

ξj

обозначения: η = ξ2 ,

Введем

x –

возможные значения

(СВ) ξ ; y –

возможные значения (СВ) η . Найдем плотность

fη(y).

Для этого найдем

соответствующую ей функцию распределения

Fη(y)= P(η

< y)=

2

= P(−

y < ξ

<

y )= Fξ

(

y )− Fξ (−

y ).(2)

P ξ

< y

Тогда с учетом (1) плотность распределения (СВ) η принимает вид

f

(y)=

dFη(y)

=

1

f

( y )+

1

f

(−

y )=

1

y

(3)

dy

ξ

2

ξ

exp −

2

, y > 0 .

η

2

y

y

2πy

Учитывая (3), для плотности fη(y) найдем характеристическую функцию

Γ

1

∞

ity

1

∞

1/ 2−1

−t

1

f

(t)=

∫

e

f

(y)dy =

∫

t

dt =

2

=

,

e

η

η

π(1 − 2it)

π(1 − 2it)

(1 − 2it)

0

0

m

откуда по свойству характеристических функций для (СВ) χ2 = ∑η j

имеем

j=1

m

1

fχ2 (t)= ∏ fηj (t)=

.

(4)

(1−2it)m / 2

j=1

∞

∞

−itz

m

−1 −

z

−

n

m

−1 −

z

2

2

2

2

1

1

e

e

i

e

fχ2 (z)=

∫e

−itz fχ2

(t)dt =

∫

dt =

z

∫t

2 etdt =

z

,

π

π

m / 2

m

m

0

0

(1 − 2it)

C

m

π 2 2

2

2

Γ

2

∞ m −x

m

m

∞

1

2

∞

2Γ

+

1

−t

2

2

(x)dx =

∫

∫

x 2 e 2 dx =

∫

t 2 e

M χ

=

xf

χ

2

dt =

= m,

m

m

m

−∞

m 0

Γ

0

Γ

2

2

Γ

2

2

2

2

1

∞

2

m

−1

−

x

D

χ

=

∫

(x − m)

x

2

e

2 dx =

m

m

0

2 2

Γ

2

4

m

m

m2

m

=

Γ

+ 2

− mΓ

+1

+

Γ

= 2m

m

4

2

2

2

Γ

2

m

1

2

Из условия экстремума

2 −1

f

′

=

x

следует,

что мода для χ -

(x)

− 2 f (x)= 0

распределения равна

Mo = m −2 .

§11. Распределение Фишера

Определение.

Непрерывная

случайная

величина ξ

имеет

распределение

0, x ≤ 0

m1

m1

−1

m1

2

2

m1

+m2

f

ξ

(x, m , m

2

)=

x

m1

−

2

.

1

m2

1

+

x

, x > 0

m

m

2

m

B

1

,

2

2

2

1

f(x,2,10)

f(x,10,50)0.5

0

0

1

2

3

4

x

Теорема. Если ξ и η – независимые (СВ),

имеющие χ2 - распределение

соответственно с m

и m

степенями свободы, то (СВ) F = ξ m2

подчиняется

1

2

η m1

распределению Фишера с (m1, m2 ) степенями свободы.

Доказательство. По условию теоремы

0, x ≤ 0

m1

1

−1

x

fξ

(x, m1)=

x 2

exp −

,

x > 0 ,

(1)

m

m

2

1

Γ

1

2

2

2

0, x ≤ 0

m2

fη

(y, m2 )

1

−1

y

(2)

=

y 2

exp

−

, y > 0 .

m

m

2

2

2

Γ

2 2

2

Пусть x – возможные значения (СВ)

ξ ; y – возможные значения (СВ) η ; z –

возможные значения (СВ)

F . Тогда z =

m2

x

и, следовательно,

m

y

m1

1

m1

x =

zy, x′z =

y .

(3)

m2

m2

∞

∞∞

∫ fF (z)dz = ∫ ∫ fξ (x)fη(y)dxdy =1

0

0 0

∞

′

m1

∞

m1