g4

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

§1. Неравенства Чебышева

Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева. Докажем это неравенство.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение (СВ) ξ от ее математического ожидания M (ξ) по абсолютной величине меньше любого положительного числа ε удовлетворяет неравенству Чебышева

P(ξ − M (ξ) < ε)≥1 − D(ξ).

ε2

Доказательство. Сначала докажем неравенство для дискретных величин. Так как события (ξ − M (ξ) < ε), (ξ − M (ξ) ≥ ε)– противоположны, то

n

Отбросим в правой части дисперсии D(ξ)= ∑(xi − M (ξ))2 pi те слагаемые, у i=1

которых (ξ − M (ξ) < ε). Без нарушения общности будем считать, что отброшены первые k слагаемых. Тогда по теореме сложения вероятностей

Теперь докажем первое неравенство Чебышева для непрерывных величин. По второму свойству плотности распределения с учетом условия нормировки

Так как для любого x (−∞, M (ξ)−ε] справедливо очевидное неравенство

§2. Теорема Чебышева

Рассмотрим последовательность попарно независимых (СВ)

ξ1,ξ2,ξ3,....ξn......

Пусть существуют M (ξi ), D(ξi ). Введем обозначение ξ~n ≡ 1 ∑n ξi . n i=1

Теорема Чебышева. Если для последовательности попарно независимых (СВ) ξ1,ξ2,ξ3,....ξn...... все дисперсии равномерно ограничены, т.е. D(ξi )≤ C , то

для любого ε > 0

lim P(ξ~n − M (ξ~n )< ε)=1 , n→∞

Доказательство. Применим неравенство Чебышева к (СВ) ξ~n ≡ 1 ∑n ξi . При n i=1

этом получим

P(ξ~n − M (ξ~n )< ε)≥1 − D(ξ~n ),

ε2

где согласно условию теоремы из-за независимости (СВ) и равномерной ограниченности

lim P(ξ~n − M (ξ~n )< ε)=1 . n→∞

Замечание. Сущность закона больших чисел (теорема Чебышева) заключается в следующем: хотя нельзя предсказать, какое значение примет

большого числа (СВ) ξi с вероятностью (СВ) P ≈1 примет значение близкое к

большом числе ξi утрачивает характер случайной величины.

Пример. Пусть ξ1,ξ2,ξ3,....ξn...... – последовательность одинаково

распределенных независимых в совокупности (СВ). Функция распределения каждой из них имеет вид

Fξi (x)= A + B arctg(x), − ∞ < x < ∞.

Удовлетворяет ли данная последовательность теореме Чебышева? Решение. Найдем постоянные А и В. Для этого воспользуемся свойством функции распределения F(∞)=1, F(−∞)= 0 . Используя это свойство, получим систему уравнений

Fξi (∞)= A + B π2 =1, Fξi (−∞)= A − B π2 = 0,

откуда получим A = 12 , B = π1 . Тогда плотность распределения

Из-за неограниченности дисперсий данная последовательность не удовлетворяет теореме Чебышева.

§3. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева. Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли.

Теорема Бернулли. Если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то

lim P(W (A)− p < ε)=1 n→∞

n

представить в виде ξ = ∑ξi , где ξi – (СВ) числа появлений события А в i-ом i=1

испытании, которая принимает значения либо 0, либо 1 с вероятностями

D(ξi )= p(1 − p)≤1 . Тогда, если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то по теореме Чебышева

что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием статистического определения вероятности.

§4. Теорема Ляпунова

Нормально распределенные (СВ) величины часто встречаются на практике. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова) разъясняет этот факт. Пусть дана бесконечная последовательность (СВ) ξ1,ξ2,ξ3,....ξn......

асимптотически нормальное распределение с центром γi и средним квадратичным σi , если

где Φ0(x)– функция Лапласа.

Теорема Ляпунова. Если взаимно независимые (СВ) ξi имеют конечные абсолютные моменты третьего порядка

μi ≡ M ξi −γi 3

и если эти моменты удовлетворяют условию

n

то сумма ξn = ∑ξi имеет асимптотически нормальное распределение с

По первому и второму свойствам характеристическая функция

gzn (t)= ∏jn=1gηj σtn ,

где

∞ ity

gηj σtn = −∫∞eσn fη j (y)dy, y = x −γ j .

Интеграл I (z)вычислим методом дифференцирования по параметру z. Для этого продифференцируем этот интеграл по параметру z, а затем проинтегрируем по частям. При этом получим дифференциальное уравнение:

Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (5) имеет вид

где константа интегрирования I0 находится из условия нормировки

что и требовалось показать.

§5. Формулы Муавра-Лапласа

Первая интегральная формула Муавра-Лапласа. Если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то справедлива интегральная формула Муавра-Лапласа

P(m1 < m < m2 )= Φ0 m2σ− a − Φ0 m1σ− a .

Проверим выполнение условий теоремы Ляпунова. Для этого вычислим абсолютные моменты третьего порядка

μi = M ξi − M (ξi )3 = M ξi − p 3 .

Ряд распределения куба модуля отклонения имеет вид