Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

g4

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
254.16 Кб
Скачать

ГЛАВА 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

§1. Неравенства Чебышева

Доказательство теоремы Чебышева основывается на неравенстве Чебышева. Докажем это неравенство.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение (СВ) ξ от ее математического ожидания M (ξ) по абсолютной величине меньше любого положительного числа ε удовлетворяет неравенству Чебышева

P(ξ M (ξ) < ε)1 D(ξ).

ε2

Доказательство. Сначала докажем неравенство для дискретных величин. Так как события (ξ M (ξ) < ε), (ξ M (ξ) ε)противоположны, то

P(

 

ξ M (ξ)

 

< ε)=1 P(

 

ξ M (ξ)

 

ε).

(1)

 

 

 

 

n

Отбросим в правой части дисперсии D(ξ)= (xi M (ξ))2 pi те слагаемые, у i=1

которых (ξ M (ξ) < ε). Без нарушения общности будем считать, что отброшены первые k слагаемых. Тогда по теореме сложения вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ)(x j M (ξ))2 p j ε2

 

 

p j = ε2P(

 

ξ M (ξ)

 

ε),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=k +1

 

 

 

 

 

j=k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так что

 

 

 

 

ε)D(ξ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(

 

ξ M (ξ)

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (2) в (1), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(

 

ξ M (ξ)

 

< ε)1 D(ξ)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось показать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поступая аналогично, можно получить и второе неравенство

Чебышева: так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (

 

ξ

 

)=

 

xi

 

pi

 

x j

 

p j ε p j = εP(

 

ξ

 

ε),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

j=k +1

 

 

j=k +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то P(

 

ξ

 

ε)

M (

 

ξ

 

)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь докажем первое неравенство Чебышева для непрерывных величин. По второму свойству плотности распределения с учетом условия нормировки

P(

 

 

 

 

< ε)=

M (ξ)+ε

 

M (ξ)ε

 

 

 

ξ M (ξ)

 

fξ

(x)dx = fξ (x)dx

fξ (x)dx +

fξ

(x)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ)ε

 

−∞

−∞

M (ξ)+ε

 

 

 

M (ξ)ε

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

fξ (x)dx +

fξ

(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

−∞

M (ξ)+ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как для любого x (−∞, M (ξ)ε] справедливо очевидное неравенство

 

(ξ M (ξ))2

1, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

M (ξ)ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ)ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x M (ξ))2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fξ (x)dx

 

fξ (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично для любого x [M (ξ)+ε, )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x M (ξ))2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fξ (x)dx

 

fξ (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

M (ξ)+ε

 

M (ξ)+ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ)ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fξ (x)dx +

fξ

(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

M (ξ)+ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(ξ)ε

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x M )

 

fξ (x)dx +

(x M )

fξ (x)dx

(4)

 

 

ε

2

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ)+ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x M )2 fξ (x)dx =

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

2

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (3) с учетом (4) следует неравенство Чебышева

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(

 

ξ M (ξ)

 

< ε)1 D(ξ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Теорема Чебышева

Рассмотрим последовательность попарно независимых (СВ)

ξ1,ξ2,ξ3,....ξn......

Пусть существуют M (ξi ), D(ξi ). Введем обозначение ξ~n 1 n ξi . n i=1

Теорема Чебышева. Если для последовательности попарно независимых (СВ) ξ1,ξ2,ξ3,....ξn...... все дисперсии равномерно ограничены, т.е. D(ξi )C , то

для любого ε > 0

lim P(ξ~n M (ξ~n )< ε)=1 , n→∞

где предел по вероятности lim P(

 

ξn M (ξn )

 

< ε)=1

означает, что для любых

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

ε >0,δ >0 существует такое n(ε,δ), начиная с

которого выполняется

неравенство P(

 

ξn M (ξ

n )

 

<ε)>1δ .

 

 

 

 

Доказательство. Применим неравенство Чебышева к (СВ) ξ~n 1 n ξi . При n i=1

этом получим

P(ξ~n M (ξ~n )< ε)1 D(ξ~n ),

ε2

где согласно условию теоремы из-за независимости (СВ) и равномерной ограниченности

D(ξ~n )=

1

n D(ξi )

C

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 i=1

n

 

 

 

так что

 

 

 

 

 

P(

 

ξ~n M (ξ~n )

< ε)1

 

C

.

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε2n

 

Откуда, переходя к пределу при n → ∞, получим

 

 

 

 

 

 

lim P(ξ~n M (ξ~n )< ε)=1 . n→∞

Замечание. Сущность закона больших чисел (теорема Чебышева) заключается в следующем: хотя нельзя предсказать, какое значение примет

каждая из (СВ) ξi , но можно предсказать, что (СВ)

~

1

n

ξn

n

ξi достаточно

 

 

i=1

 

 

 

большого числа (СВ) ξi с вероятностью (СВ) P 1 примет значение близкое к

определенному числу (СВ)

M (ξ~n ), так что (СВ)

ξ~n

1

n

ξi при достаточно

 

 

 

n

i=1

 

 

 

 

большом числе ξi утрачивает характер случайной величины.

Пример. Пусть ξ1,ξ2,ξ3,....ξn...... – последовательность одинаково

распределенных независимых в совокупности (СВ). Функция распределения каждой из них имеет вид

Fξi (x)= A + B arctg(x), − ∞ < x < ∞.

Удовлетворяет ли данная последовательность теореме Чебышева? Решение. Найдем постоянные А и В. Для этого воспользуемся свойством функции распределения F()=1, F(−∞)= 0 . Используя это свойство, получим систему уравнений

Fξi ()= A + B π2 =1, Fξi (−∞)= A B π2 = 0,

откуда получим A = 12 , B = π1 . Тогда плотность распределения

fξ

 

(x)=

dFξi (x)

=

 

 

 

 

 

1

 

 

.

i

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

dx

 

 

 

π

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для такой плотности распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξi )=

 

 

 

 

 

 

 

dx = 0 ,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

−∞π 1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξi )=

 

 

 

dx = ∞.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

−∞π 1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из-за неограниченности дисперсий данная последовательность не удовлетворяет теореме Чебышева.

§3. Теорема Бернулли

Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Чебышева. Пусть эксперимент проводится по схеме Бернулли.

Теорема Бернулли. Если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то

lim P(W (A)p < ε)=1 n→∞

Доказательство. Пусть ξ – (СВ)

числа появлений события А

в

n

независимых испытаниях, 0,1, … n

ее возможные значения. Тогда ξ

можно

n

представить в виде ξ = ξi , где ξi (СВ) числа появлений события А в i-ом i=1

испытании, которая принимает значения либо 0, либо 1 с вероятностями

равными

(1 p)

и p

соответственно. При этом значение (СВ)

~

1

n

ξn

n

ξi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равно относительной

частоте

появлений

события А в n

независимых

испытаниях W (A)=

m

 

. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξi )= p, D(ξi )= p(1 p),

 

 

 

 

так что по свойству математического ожидания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M (ξ~n )=

1

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

ξi =

1

M (ξi )= p .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

i=1

 

 

 

 

Так

как

p 1, q =1 p 1,

все

дисперсии равномерно

 

ограничены

D(ξi )= p(1 p)1 . Тогда, если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то по теореме Чебышева

lim P(ξ~n M (ξ~n )< ε)= lim P(W (A)p < ε)1 =1,

n→∞

n→∞

что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием статистического определения вероятности.

§4. Теорема Ляпунова

Нормально распределенные (СВ) величины часто встречаются на практике. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова) разъясняет этот факт. Пусть дана бесконечная последовательность (СВ) ξ1,ξ2,ξ3,....ξn......

Пусть

существуют их математические ожидания и дисперсии

γi M

(ξi ), σi D(ξi )c .

 

Определение. Говорят, что последовательность (СВ) ξ1,ξ2,ξ3,....ξn......

имеет

асимптотически нормальное распределение с центром γi и средним квадратичным σi , если

 

 

 

ξ

i

γ

i

 

 

 

= 2Φ0 (t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

lim P

 

 

 

i

 

 

 

< t

i→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Φ0(x)функция Лапласа.

Теорема Ляпунова. Если взаимно независимые (СВ) ξi имеют конечные абсолютные моменты третьего порядка

μi M ξi γi 3

и если эти моменты удовлетворяют условию

 

n

 

 

 

μi

 

 

i=1

 

 

lim

3

 

= 0 ,

n→∞

σn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

то сумма ξn = ξi имеет асимптотически нормальное распределение с

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(ξn ).

 

центром γn = M (ξn ) и средним квадратичным σn =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξn γn

 

1

 

Доказательство. Введем величину

Zn

 

ηi , ηi = ξi γi . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σn

σn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

t

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

P(

 

Zn

 

< t)= fZn

(z)dz =

 

 

eitz gzn (t)dtdz ,

(1)

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где gzn (t) характеристическая функция.

Совершим предельный переход в

(1) под знак интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P(

 

 

 

< t)=

1

t

eitz lim

(gzn (t))dtdz .

(2)

 

 

Zn

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

n→∞

 

t −∞

 

n→∞

 

По первому и второму свойствам характеристическая функция

gzn (t)= jn=1gηj σtn ,

где

ity

gηj σtn = eσn fη j (y)dy, y = x γ j .

Разлагая по формуле Тейлора экспоненту по степеням

1

 

и ограничиваясь

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σn

 

 

членами

 

, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

(y)dy +

it

 

 

 

(y)dy

t

2

 

2

 

 

(y)dy + Rn

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

gηj

 

 

 

 

=

η j

 

 

 

yf

η j

 

 

y

 

 

fη j

σ

 

 

σ

n

 

2

 

 

 

 

 

n

 

−∞

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

2σn −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(y)dy =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fη j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(y)dy = M (ηi )= M (ξi γi )= 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yfη j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

f

(y)dy = M

 

 

2

= D(η

)= D(ξ

 

γ

 

)=

D(ξ

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η

 

i

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η j

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а остаточный член Rn представляет собой бесконечно малую более высокого

порядка, чем 1 (доказательство последнего утверждения опускаем). Таким

σn2

образом,

 

 

 

 

gzn (t)

n

 

 

 

t2D(ξi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

2D(ξn )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

D(ξ

)= D(ξ

 

)=...... Тогда g

 

(t)=

 

 

t

2

 

и, следовательно, по второму

2

zn

1

=

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

замечательному пределу

 

(t)= lim

 

 

t

2

 

 

t2

 

lim gzn

 

 

2

 

 

=

 

 

= e

 

.

 

 

 

1

2n

 

 

n→∞

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (3) в (2), получим

 

1

itze

t2

 

1

t2

 

I (z)

e

2 dt =

cos(zt)e

2 dt .

2π

2π

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

(4)

Интеграл I (z)вычислим методом дифференцирования по параметру z. Для этого продифференцируем этот интеграл по параметру z, а затем проинтегрируем по частям. При этом получим дифференциальное уравнение:

dI (z)

= −zI (z).

(5)

dz

 

 

 

Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (5) имеет вид

z2

 

 

I (z)= I0e

2 ,

где константа интегрирования I0 находится из условия нормировки

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (z)dz =1 и равна I0 =

, так что

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

I (z)=

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2π e

 

 

 

 

 

 

 

и окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim P(

 

Zn

 

< t)= 2Φ0(t),

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

что и требовалось показать.

§5. Формулы Муавра-Лапласа

Первая интегральная формула Муавра-Лапласа. Если эксперимент проводится по схеме Бернулли, то справедлива интегральная формула Муавра-Лапласа

P(m1 < m < m2 )= Φ0 m2σa − Φ0 m1σa .

Проверим выполнение условий теоремы Ляпунова. Для этого вычислим абсолютные моменты третьего порядка

μi = M ξi M (ξi )3 = M ξi p 3 .

Ряд распределения куба модуля отклонения имеет вид

 

ξi p

 

3

p3

q3

 

 

 

 

 

 

 

pi

q

p

Откуда следует

 

ξi M (ξi )

3

 

ξi p

3

 

2

+ p

2

 

n

 

2

+ p

2

 

μi = M

 

= M

 

= pq q

 

 

,

μi = npq q

 

 

,σn = npq ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так что

n

μi

lim i=σ13

n→∞ n

 

 

2

+

p

2

 

 

 

 

 

 

 

npq q

 

 

 

 

q2 + p2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

=

(pq)3 / 2

lim

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

n→∞ (pq)3 / 2 n3 / 2

 

n→∞

n

 

Независимость случайных величин следует из независимости испытаний. Таким образом, условия теоремы Ляпунова для испытаний, проводимых по схеме Бернулли, выполняются. Тогда закон распределения (СВ) ξn можно

считать приближенно нормальным при достаточно большом числе испытаний, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(t)

 

 

(t)−Φ

 

(t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

< t

 

2Φ

0

= Φ

0

0

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где для схемы Бернулли γn = M (ξn )= n M (ξi )= np, σn =σ = npq .

Представим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

< t

 

 

в эквивалентном виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

np tσ < ξn < np + tσ ,

 

 

 

 

 

 

и введем обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

np tσ = m1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

np +tσ

= m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 np

 

 

 

 

m2 np

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда находим t =

, t =

, так что согласно (1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(m <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)= Φ

 

m

2

np

 

 

m

np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ

n

< m

2

0

 

 

 

 

 

 

 

−Φ

0

 

1

 

 

 

.

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторая интегральная формула Муавра-Лапласа. Представим двойное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неравенство

t <

ξn γn

в

эквивалентном

виде

 

< t

 

 

 

 

 

σn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tσn

 

 

 

 

 

tσn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<W ( A) p <

,

ξ

n

=W (A), σn = npq

 

и

введем обозначение

tσn

= ε .

n

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Тогда

 

W (A) p

 

< ε

и с учетом нечетности функции Лапласа интегральная

 

 

формула Муавра-Лапласа примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(

 

W (A)p

 

< ε)= 2Φ

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pq

 

 

Дифференциальная формула Лапласа. Пусть m2 = m1 +1. Тогда из формулы

(3) получим локальную формулу Лапласа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m +1

np

 

m np

 

m np

 

1

 

P(m1)P(m1 < ξn < m1 +1)= Φ0

− Φ0

≈ Φ′0

 

=

 

1

 

 

1

 

 

1

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

σ

 

 

 

σ

 

 

 

=

1

m np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

npq

ϕ

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

npq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ϕ(x)= Φ′0

(x), ϕ(x)=

1

e

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. В эпоху зарождения теории вероятностей существовала проблема, известная под названием «парадокс Муавра»: с одной стороны, по теореме Бернулли вероятность того, что число гербов приближенно равно числу решеток стремится к 1, а с другой стороны, вероятность того, что число гербов в точности совпадает с числом решеток, стремится к 0.

Решение. Противоречие было окружено атмосферой парадоксальности до тех пор, пока де Муавр не разрешил его. Последуем его примеру.

Когда монету бросают 2n раз,

то

согласно

формуле Бернулли

вероятность того, что герб выпадет ровно

n раз, равна

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

n

 

(2n)!

 

2n

 

 

 

P

(n)

= C

n

(pq ) =

 

 

 

2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

(n!)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и для больших n с учетом формулы Стирлинга n!=

n n

вероятность

2πn

 

 

 

 

= (2n)! 2 2n 1

 

 

 

e

 

P

(n)

 

,

 

 

 

 

2n

 

 

(n!)2

 

 

 

πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так что

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

lim

P

 

(n)=

lim

= 0 .

 

 

 

2n

 

 

 

 

πn

 

 

 

 

 

 

n →∞

 

 

 

 

 

n →∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, вероятность того, что число гербов в точности совпадает с числом решеток, стремится к 0.

С другой стороны, по теореме Бернулли вероятность того, что число гербов приближенно равно числу решеток стремится к 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]