g4
.pdf
Пусть Γn – (СВ) числа гербов; Ρn – (СВ) числа решеток; |
mg – |
число |
||||||||||||||||||||||||||
гербов; mr – |
число решеток; mr + mg = n . По теореме Бернулли |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim P[ |
|
W (Γ)− p(Γ) |
|
< ε ]= 1, W (Γ)= |
Γn |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
(Γ −Ρ ) |
1 |
|
|
|
(Γ −Ρ |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Так как |
m |
r |
+ m |
g |
= n , то Γ |
− np(Γ)= |
|
|
|
n |
n |
|
+ n |
|
− p(Γ) |
= |
n n |
|
, |
и, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
Γn − Ρn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
< ε |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, согласно закону больших чисел Бернулли, вероятность того, что разность Γn −Ρn становится пренебрежимо малой величиной по
сравнению с n , стремится к 1.
Если случайный эксперимент проводится по схеме Бернулли, то согласно теореме Ляпунова имеет место соотношение, известное под названием «предельная теорема Муавра-Лапласа»,
lim |
|
|
Γn − np |
|
|
|
lim |
|
Γn |
|
P |
|
npq |
< ε |
|
= |
P |
n |
− p |
||
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
откуда при p = q = 12 следует
lim |
|
Γn − p < ε |
pq |
|
= lim P[Γn |
P |
|
||||
n →∞ |
|
n |
n |
|
n →∞ |
<ε
−Ρn
pq |
|
= 2Φ0 (ε ), ε > 0, |
|
||
n |
|
|
< ε 
n ]= 2Φ0 (ε ).
Таким образом, разность Γn −Ρn не является пренебрежимо малой
величиной по сравнению с 
n . Например, для n = 3600 вероятность того, что разность Γn −Ρn не превосходит 6, равна
lim P[Γn − Ρn < 60ε ]= 2Φ0 (0.1). ≈ 0.08 , n →∞
а вероятность того, что разность Γn −Ρn не превосходит 60 уже равна
lim P[Γn − Ρn < 60ε ]= 2Φ0 (1). ≈ 0.68 , n→∞
так что формула Муавра-Лапласа устанавливает связь между нулевой и единичной вероятностями.