§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Ограничимся рассмотрением лишь знакоположительных рядов, т.е. всякий знакоотрицательный ряд можно преобразовать в знакоположительный простым умножением на .

Теорема 2.1. Пусть дан знакоположительный ряд . Если последовательность его частных сумм ограничена сверху, то ряд сходится.

Доказательство.

Составим частичные суммы

.

Последовательность монотонна:. По условиюограничена сверху, например числом А. Тогда последовательность(по теореме о пределе монотонной последовательности) имеет предел. По определению 1.3. это означает, что ряд сходится. Теорема доказана.

Все признаки сходимости положительных рядов, в конечном счете, основаны на этой теореме.

Теорема 2.2. (Критерий Коши) Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобыинатуральноговыполнялось неравенство.

Практическое применение критерия Коши бывает связано с большими трудностями, но его иногда полезно использовать для доказательства расходимости ряда: если найдутся хотя бы одно значение и одно натуральноетакие, что

, но для, то рядрасходится. Покажем это на примере.

Пример 1. Покажем расходимость ряда , хотя этот ряд удовлетворяет необходимому признаку сходимости. Для доказательства расходимости ряда

.

Оценим его –ю частичную сумму:

;.

При ,. Ряд расходится.

Рассмотренный ряд является частным случаем обобщенного гармонического ряда. Далее будет показано, что обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при .

Пример 2. С помощью критерия Коши покажем расходимость ряда .

Для этого рассмотрим

.

Существует ли и натуральноетакие, что данная сумма была не меньше? Положим. Тогда

; по критерию Коши ряд расходится.

Теорема 2.3 (первый признак сравнения). Даны ряды

	(1)
	(2)

с положительными членами, причем начиная с некоторого номера для всех членов этих рядов выполняется неравенство. Тогда

1. из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);

2. из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство.

1. Обозначим через частичную сумму ряда(1), а через– частичную сумму ряда(2). Ряд (2) сходится, поэтомуограничена. Так как по условию теоремы, тотакже ограничена, а следовательно и ряд (1) сходится по теореме 2.1.

2. Так как ряд (1) расходится, а по условию каждый член ряда (2) больше или равен соответствующему члену ряда (1), начиная с некоторого номера , то частичные суммы ряда (2) не ограничены, следовательно, ряд (2) расходится.

Теорема доказана.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Так как для любоговерно неравенствои гармонический ряд расходится, то по первому признаку сравнения исходный ряд тоже расходится.

Теорема 2.4. (второй признак сравнения). Пусть даны знакоположительные ряды (1) и(2).

1. Если существует конечный и отличный от нуля

,то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

2. Если ,то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство.

1. По условию теоремы . По определению предела это означает, что, то есть, или,. Отсюда, используя свойство об умножении членов ряда на постоянную и 1 признак сравнения, получаем утверждение теоремы.

Чтобы применять признаки сравнения, необходимо иметь некоторый набор рядов, сходимость которых изучена, и с которыми можно сравнивать исследуемый ряд. В роли таких «эталонных» рядов используют:

1. Гармонический ряд . Этот ряд расходится.

2. Ряд . Этот ряд называютобобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле). Он расходится при и сходится при.

3. Ряд геометрической прогрессии . Этот ряд сходится прии расходится при.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним данный ряд с рядом . Воспользоваться первым признаком сравнения мы не сможем. Рассмотрим=1.

Так как , то по второму признаку сравнения рядыиведут себя по отношению к сходимости одинаково. Следовательно, рядрасходится.

Сравним поведение двух рядов, являющихся частными случаями обобщенного гармонического ряда (ряда Дирихле) при и:,.

Представим себе, что перед нами лежат две бесконечные колоды карт. Берем карты из первой колоды и выкладываем их так: первая карта вся, рядом с ней половина второй карты, далее третья часть третей карты и т.д.: . Так как рядрасходится, то в этом случае площадь выложенных карт будет бесконечной. Если же карты выкладывать чуть-чуть иначе: первую – полностью, рядом с ней – четверть второй карты, дальшетретьей карты и так далее:, то в этом случае площадь выложенных карт будет конечной, так как рядсходится, и его сумма равна.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Т.к. при, то общий член данного ряда. Рядявляется сходящейся геометрической прогрессией, где. Следовательно, наш ряд сходится по теореме 2.3.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Т.к. ,, тодля;является общим членом расходящегося гармонического ряда, так что поIпризнаку сравнения наш ряд расходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Сравним с общим членом гармонического ряда, используя предельный признак сравнения:, по теореме 2.3. наш ряд расходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Представим его общий член в виде произведения общего члена обобщенного гармонического ряда и частного от деления на некоторую положительную степень, например, так:. Найдем

.

Поэтому, начиная с некоторого номера, , следовательно, для достаточно большихсправедливо неравенство. Ряд с общим членомсходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени. Следовательно, по теореме 2.3. наш ряд сходится.

Недостаток обоих признаков сравнения в том, что их использование предполагает подбор второго ряда. Сделать это не всегда легко.

Существуют признаки сходимости, которые позволяют судить о сходимости ряда по его общему члену. К их числу относятся признаки Даламбера и Коши.

Теорема 2.5 (признак Даламбера). Пусть дан –знакоположительный ряд. Если существует, то

1. при ряд сходится;

2. при ряд расходится;

3. при вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство.

Пусть . По определению предела это означает, что при достаточно большом, выполняется неравенство , где– заранее заданное сколь угодно малое положительное число. Отсюдаили,.

1. Пусть . Возьмемстолько малым, что. Обозначим, тогда и , откудапри..

Итак члены ряда меньше соответствующих членов геометрической прогрессии, т.е. . Так как, то последний ряд сходится, но тогда по теореме 2.3. сходится и ряд, и исходный ряд.

2. . Тогда, из того что , следует, что (по определению пределов) начиная с некоторого номера, для всехбудет иметь место неравенство или . Это означает, что члены ряда (1) возрастают, начиная с номера, то есть не стремится к нулю, при . Следовательно ряд (1) расходится. Теорема доказана.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

1) Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем

, ,

.

Получившийся предел найдем с помощью второго замечательного предела. Для этого запишем его в виде

.

Таким образом, получили

.

Следовательно, ряд расходится.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда .

Запишем и найдем

, то есть ряд расходится по признаку Даламбера.

Теорема 2.6. (Радикальный признак Коши). Пусть – знакоположительный ряд. Если существует, то

1. при ряд сходится;

2. при ряд расходится;

3. при вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство.

1. Пусть . Рассмотрим число, удовлетворяющее соотношению.

Из определения предела и соотношения , следует, что существует такое число, такое что, для всехбудет иметь место неравенство: .

Рассмотрим теперь два ряда

	(1)
	(3)

Ряд (3) сходится, так как члены его образуют убывающую геометрическую прогрессию.

Члены ряда (1), начиная с меньше членов ряда (3) и следовательно, на основании первого признака сравнения и свойства (1) рядов, получаем что ряд (1) сходится.

2. . Тогда начиная с некоторого номера , для всехбудет иметь место неравенство или . Это означает, что члены ряда (1) возрастают, начиная с номера, то есть( не стремится к нулю, при ). Не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Поэтому ряд (1) расходится. Теорема доказана.

Заметим, что признак Коши сильнее признака Даламбера, так как предел может существовать, а предел– нет. При этом признак Коши несколько чувствительнее, чем признак Даламбера. Это видно из следующего примера:

Рассмотрим ряд , т.е. общий член этого ряда. Отсюда

Таким образом, отношение все время «перескакивает» через единицу, и признак Даламбера здесь не применим. Вместе с тем признак Коши дает нам, итем самым указывает на сходимость ряда.

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Применим признак Коши к общему члену ряда и воспользуемся 2 замечательным пределом:

. Ряд расходится.

ПРИМЕР 12. Исследовать на сходимость ряды

.

Применяя признак Коши, получим

.

Следовательно, ряд сходится.

Пример 13. Исследовать сходимость ряда .

Так как , то ряд сходится.

Теорема 2.7. (Обобщенный признак Коши). Если существует верхний предел , то приряд сходится, а приряд расходится.

Пример 14. Исследуем на сходимость ряд .

Первая мысль при рассмотрении данного ряда, – применить признаки Коши и Даламбера. Но оба предела ине существуют. Однако верхний пределсуществует и меньше единицы. По общему признаку Коши, данный ряд сходится.

Напомним читателю, что из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой называется частичным пределом. Таких подпоследовательностей может быть несколько. Наибольшей частичный предел (он всегда существует в случае ограниченной последовательности) называетсяверхним пределом данной последовательности. В частности, в данном примере из подпоследовательности можно выделить подпоследовательность; её предел будет верхним.

Замечание.В обеих теоремах случайвключается в.

Замечание.Если, то ряд может сходится, а может расходится. Поэтому признаки Коши и Даламбера не подходят и необходимо использовать другие признаки.

Пример. 14. Рассмотрим гармонический ряд . Известно, что он расходится. Покажем, что. Рассмотрим

.

Пример. 15. Рассмотрим ряд .

Выяснить сходимость этого ряда признаком Даламбера не удается, так как и

.

Найдем сумму ряда по определению. Заметим, что

.

Тогда исходный ряд можно записать в виде:

.

Частичная сумма первых членов после раскрытия скобок и сокращения будет равна. Следовательно,, то есть ряд сходится.

Пример 16. Рассмотрим ряд .

.

Этот ряд сходится, так как , а рядсходится из примера 15, значит ряд тоже сходится по первому признаку сравнения.

И наконец, сформулируем еще один признак сходимости, который связывает сходимость ряда со сходимостью некоторого несобственного интеграла.

Теорема 2.8. (Интегральный признак Коши). Пусть – знакоположительный ряд,– непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая на некотором промежутке(где) функция, такая, что(для любого). Тогда несобственный интеграли рядведут себя одинаково относительно сходимости.

Доказательство.

Изобразим члены ряда геометрически, откладывая по оси абсцисс номера членов ряда, а по оси ординат – соответственно значениячленов ряда. Построим на том же чертеже график невозрастающей функции, удовлетворяющей условиям. Получим, что площадь любого прямоугольникаравна, и следовательно,– частичная сумма ряда равна сумме площадей построенных прямоугольников. Рассмотрим ступенчатую фигуру, образованную этими прямоугольниками. Она закрывает область, ограниченную кривойи прямыми. Площадь этой области равна. Следовательно,.

Рассмотрим теперь Рис. 2. Здесь первый слева из прямоугольников имеет высоту , второйи т.д. Площадь последнего из построенных прямоугольников равна. Следовательно, площадь всех построенных прямоугольников равна сумме всех членов ряда, начиная от второго до–го, то есть. С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками содержится внутри кривой фигуры, ограниченной кривойи прямыми. Получаем.

Рассмотрим два случая:

1. Интеграл – сходится, то есть имеет конечное значение, так как .

Так как сумма – ограниченна, и при любых , привозрастает (учитывая, что) то, существуети тогда по определению сходящегося ряда, ряд сходится.

2. –расходится. Это означает, что неограниченно возрастает при и тогда, в силу неравенства, – неограниченно возрастает при возрастании . Значит ряд расходится. Теорема доказана.

Замечания.

1. Признак основан на сравнении рядов с несобственными интегралами.

2. Функцию , принимающую в точкахзначения, чаще всего удается построить с помощью замены натуральногов выражении, чаще на непрерывно изменяющийся аргумент. Так, например, если, то; если, то. Однако, не всегда таким образом можно получить функцию. Если, например, то в этом случае нельзя заменитьна, так как символпри нецелыхне имеет смысла. Это не означает, что не существует функции, принимающей в точкахзначения. Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое выражение не всегда просто найти.

3. Достоинство интегрального признака Коши состоит в том, что он четко проводит различие между все более медленно сходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого, что иллюстрируется приведенным ниже примером 17.

4. Интегральный признак Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Но даже и для таких функций может оказаться, что путь непосредственного вычисления интеграла при применении интегрального признака сходимости не всегда приемлем. Например, для ряда требуется вычислить интеграл, что затруднительно. К данному ряду очевидно применение первого признака сравнения: примы имеем, а рядсходится как геометрическая прогрессия со знаменателем.

Пример 17. Исследовать на сходимость ряд ().

Рассмотрим функцию . Эта функция на промежуткенепрерывна, неотрицательна, монотонно убывает. Кроме того, для любого натурального

.

Следовательно, несобственный интеграл и рядведут себя одинаково относительно сходимости. Рассмотрим указанный несобственный интеграл. Имеем

.

Так как по условию , то. Но тогдаприи.

Итак, получили, что несобственный интеграл присходится. Следовательно, ряд() тоже сходится.

Пример 18. Исследуем сходимость ряда интегральным признаком Коши.

По формуле общего члена введем функцию . Она непрерывна и монотонно убывает на промежутке. Вычислим несобственный интеграл

.

Интеграл расходится, поэтому расходится и ряд.

При исследовании сходимости ряда с положительными членами иногда используется метод выделения главной части. Он применяется там, где удается получить с помощью формулы Тейлора асимптотическую формулу вид. В этом случае рядсходится или расходится одновременно с обобщенным гармоническим рядом(см пример 17).

Пример 18. Исследовать на сходимость ряд .

Так как при, то

,

откуда . Следовательно, рядсходится.

При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих бывает полезна формул Стиглинга:, которая означает, что.

Пример 19. Исследовать сходимость ряда .

Применение признака Даламбера в данном случае затруднительно. Используем радикальный признак Коши и заменим по формуле Стирлинга на.

.

Ряд расходится.