§3.Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Ряд с членами произвольных знаков называют знакопеременным. Ряд называют знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют противоположные знаки. Запись знакочередующегося ряда: .

Определение 1. Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов исходного ряда.

Замечание.

§4. Некоторые применения теория числовых рядов

1. Исследование сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами основано на использовании интегрального признака Коши.

Пример 1. Исследовать на сходимость .

Функция непрерывна и положительна для. Составим ряд. Он сходится по признаку Даламбера, так как

.

Из сходимости ряда вытекает сходимость данного интеграла.

2. Достаточные признаки можно использовать для доказательства равенств вида .

Пример 2. Доказать, что . Обозначим,. Составим ряд. Исследуем его сходимость признаком Даламбера:

.

Так как ряд с общим членом сходится, топо необходимому признаку сходимости.

Степенные ряды.

§ 1 Основные определения

Пусть на некотором множестве определена последовательность функций.

Определение 1.1.Функциональным рядом называют алгебраическую сумму членов функциональной последовательности:

,R.

При подстановке в функциональный ряд фиксированных значений аргумента получают различные числовые ряды, среди которых могут оказаться как сходящиеся, так и расходящиеся

Определение 1.2.Множество всех значений переменной, для которых функциональный рядсходится, называют областью сходимости данного ряда.

Различают области условной и абсолютной сходимости функционального ряда, как и в случае числовых рядов.

Определение 1.3.Функциональный рядназывают абсолютно сходящимся на множестве, если на этом множестве сходится ряд из модулей данного ряда.

Для определения области сходимости ряда следует решить одно из функциональных неравенств:

1. ;

2. .

Вопрос о сходимости функционального ряда на границе области решается исследованием уже числового ряда на сходимость.

Определение 1.4.Рядназывают сходящимся в точке, если сходится числовой ряд.

Ряд называют сходящимся на множестве , если он сходится в каждой точке этой области.

Определение 1.5.Частичной суммойряданазывают сумму первых членов ряда:. Предел частичных сумм ряда, который сходится на множестве, называют его суммой:или. При этом говорят, что функция разложена в ряд по функциям.

Определение 1.6.Сходимость функционального рядав точкеозначает, что для любого большесуществует такое натуральное число, то при всех выполняется неравенстводля фиксированного значения.

§ 2. Степенные ряды

Определение 2.1.Функциональные ряды вида, гдеR, называют степенными рядами. Выполним замену:, получаем степенной ряд вида. Исследование его сходимости эквивалентно исследованию сходимости ряда, поэтому далее будем исследовать сходимость ряда.

Определение 2.2.Областью сходимости степенного ряда называют совокупность тех значений, при которых степенной рядсходится.

Геометрически областью сходимости могут служить интервалы замкнутые, открытые, полузакрытые или объединения приведенных интервалов.

Число такое, что прирядсходится, а прирасходится, называют радиусом сходимости степенного ряда. Интервалназывают интервалом сходимости. При ряд (числовой) может, как сходиться, так и расходиться.

Радиус сходимости степенного ряда находят по формулам:

1. ;

2. .

А интервал сходимости – по формулам:

1. (по признаку Даламбера);

2. .

А затем исследуют поведение ряда на границах интервала.

Теорема 2.3. Радиусы сходимости следующих рядов равны между собой:

_{, ,}.

Теорема 2.4. (Абеля) Если степенной ряд сходится при, то оно сходится абсолютно длю всех, удовлетворяющих неравенству: .

Следствие:члены степенного ряда являются непрерывными функциями, и на всяком интервале, лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда является непрерывной функцией на отрезкедействительной оси.

Замечание. Все изложенное переносится и на рядс помощью замены.

Теорема 2.5. Пусть – радиус сходимости степенного ряда

(1)

Тогда функция имеет в интервалепроизводные всех порядков, и их находят почленным дифференцированием ряда (1). Для любых.

То есть внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать.

Замечания:

1. Степенные ряды, полученные из ряда (1) в результате почленного дифференцирования или интегрирования, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

2. Дифференцирование и интегрирование рядов часть используют для нахождения суммы ряда. Если легко найти сумму ряда из производных (или интегралов), то дифференцируя (или интегрируя) ряд с известной суммой, находят и сумму исходного ряда.

При дифференцировании ряда несколько раз для нахождения суммы ряда приходится решать некоторое дифференциальное уравнение по найденной линейной зависимости между суммой исходного ряда и её производными.

3. Дифференцирование и интегрирование рядов используют и для нахождения сумм числовых рядов. Если сумма функционального ряда найдена, и ряд сходится при значении, то числоявляется суммой данного числового ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда .

Имеем степенной ряд. Найдем интервал его сходимости, используя функциональное неравенство .

Выписываем ,, откуда

или , тогда интервал сходимости ряда:.

Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала:

1. . Получаем числовой ряд . Он знакочередующийся. Ряд из его модулей расходится. Поэтому исходный ряд абсолютно расходящийся. Исследуем исходный ряд на условную сходимость. По формуле общего члена введем функцию непрерывного аргумента :. Найдем, функция монотонно убывает для. Находим. Все условия теоремы Лейбница выполнены, поэтому ряд условно сходится. То есть левая граница интервала сходимости точкавходит в область сходимости исходного ряда.

2. . Тогда имеем ряд . Он расходится, то есть правая граничная точка, не входит в область сходимости ряда. Итак, область сходимости исходного ряда:или.

Пример 2. Найти сумму ряда .

Обозначим сумму исходного ряда Находим

,.

Замечаем: – это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и начальными условиями:

Для нахождения функции решаем задачу Коши:.

Решение ищем в виде: . Тогда характеристическое уравнение имеет вид: . Используем начальные условия: откуда.

Пример 3. Найти сумму ряда .

Сделаем замену переменной . Тогда имеем ряд. Почленно его интегрируем:

–

геометрическая прогрессия при , её сумму обозначим через. Тогда, откуда сумма исходного рядав областиили.