§ 3 Разложение функций в ряды

Определение 3.1.Функция комплексного переменногоназывается однозначной аналитической в точке, еслиопределена в некоторой окрестности точкии в круге,представима рядом, сходящимся к, то есть, где,.

Таким образом, , где– ближайшая к точкеособая точка функции.

Определение 3.2.Пусть функцияопределена в некоторой окрестности точкии имеет в окрестности этой точки производные всех порядков. Тогда рядназывают рядом Тейлора функциив точке. Если, то рядназывают рядом Маклорена функции.

Замечание. Для того, чтобы функция вещественного переменногона рассматриваемом интервале была равна сумме своего ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы для всехэтого интервала её остаточный член в формуле Тейлора:стремился к нулю, то есть.

Остаточный член формулы Тейлора для всех можно записать любым из следующих способов:

1. –в интегральной форме;

2. –, в форме Лагранжа;

3. –, остаточный член в форме Коши.

Стандартные разложения элементарных функций

1. R.

2. , R.

3. , R.

4. , .

5. 

6. Биномиальное разложение

, .

7. , .

8. , R.

Замечание. При разложении функций в степенные ряды используют или непосредственно формулу Тейлора, или стандартные разложения функций. Использование стандартных разложений часто упрощает разложение функции в ряд.

Пример 1. Разложить функцию в ряд в точке.

Чтобы воспользоваться стандартным разложением 6. , сделаем замену: , тогда

.

Итак, в окрестности точки.

§ 4. Приложение степенных рядов

Перечислим некоторые из приложений степенных рядов: вычисление производных и интегралов; приближенных вычислений значения функции; решение дифференциальных уравнений.

Пример 1. Вычислить , если,.

Запишем , используя разложение 3.:

Так как , то.

Пример 2. Вычислить приближенно с точность . В данном случае интегралявляется «неберущимся». Для функции используем стандартное разложение 1.:

Интегрируем почленно на интервале :

Оценим погрешность по формуле

, .

При условии , получаем, что достаточно взять 2 первых члена разложения, откуда

.

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям,.

Используем разложение функции в ряд Маклорена; решение будем искать в виде:

Тогда: ,,и следовательно. Найдем

, ,,

. Тогда ,,,.

Теперь запишем решение дифференциального уравнения, подставив значения производных:

.

Замечание. Формула Стирлинга описывает асимптотическое поведение факториала при:

Приведем некоторые формулы вычислений ошибки при разложении функций в ряды:

1. при .

2. .

3. .

4. при .

5. _.

§ 5. Тригонометрические ряды Фурье

Функция является одной из простейших периодических функций. Она описывает простейшее колебательное движение. Подобные функции называют гармоническими.

Рассмотри периодические функции, каждую из которых можно представить в виде суммы ряда: .

Мы научимся разлагать функцию в ряд такого типа.

Определение 5.1.Функциииназывают попарно ортогональными на отрезке, если

.

Система функций называется ортогональной на отрезке, если любые две функции,, приортогональны на.

Определение 5.2.Последовательность функцийназывают ортонормированной, если её элементы попарно ортогональны и.

Напомним определение кусочно-непрерывной функции.

Определение 5.3. Функцию, заданную на интервале, называют кусочно-непрерывной на этом интервале, если она непрерывна всюду на интервале, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, причём в каждой точке разрыва,, эта функция удовлетворяет условию:,.

Теорема 5.4.Если– периодическая функция,– её период, то интегралы отпо всякому отрезку длиныравны между собою, то есть для любого:

.

Теорема 5.5. Тригонометрическая система функций

ортогональна на любом отрезке длиной .

Доказательство.

Вычислим .

Мы знаем, что тогда,

что и требовалось доказать.

Пример 1. В пространстве кусочно-непрерывных на интервале функций система функций

является ортонормированной.

Ортогональность данной системы функций доказана в теореме 1.6.

Вычислим , то есть система ортонормирована.

Для любой кусочно-непрерывной на интервале функции тригонометрический ряд Фурье имеет вид:

,

где ,,.

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье дает теорема

Теорема 5.6. (Дирихле). Пусть функция – периодическая с периодоми кусочно-непрерывна (на каждом конечном интервале она и её производная имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода) или кусочно-монотонна. Тогда в каждой точке непрерывности функцияразложима в ряд Фурье, причем этот ряд сходится и в каждой точкеразрыва функции к среднему арифметическому левого и правого пределов функциив точке. То есть, если– точка непрерывности функции;, если– точка разрыва функции.

Определение 5.7. Тригонометрическим рядом Фурье называют ряд по тригонометрической системе функций.

Замечания.

1. Если – четная функция, то есть, то, .

2. Если – нечетная функция, то есть, то, .

Пример 2. Пусть функция периодична с периодоми удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Тогда она разложима в ряд Фурье по ортогональной на отрезкесистеме функций. В каждой точке непрерывности функцииразложение имеет вид:

,

,

.

В каждой точке разрыва ряд сходится к среднему арифметическому правого и левого пределов функциив точке.

Замечание. Функция, заданная на интервале , может быть разложена в ряд Фурье бесконечным числом способов в зависимости от того, как продолжить её на интервале; в частности, функцию, заданную на интервале, в зависимости от требований можно разложить либо в ряд только синусов, либо в ряд только косинусов. Тогда говорят: «Разложить функцию по синусам (или по косинусам)»

Пример 3. Разложить функцию в ряд. Указать интервалы, в которых сумма рядасовпадает с, если. Найти

Решение. Заданная функция является непрерывной, но не является периодической. Чтобы были выполнены все условия теоремы Дирихле, функцию следует аналитически продолжить на всю ось по свойству периодичности. Из бесконечного числа возможных аналитических продолжений рассмотрим два частных способа продолжения функции:

1. По свойству нечетности. Тогда можно осуществить разложение функции в ряд по синусам;

2. По свойству четности. Тогда функцию разложим в ряд по косинусам.

Случай а) достраиваем функцию на интервале как периодическую, нечетную. Её график симметричен относительно начала координат:

(РИС)

Вычислим коэффициенты ряда:

Учтём: ,. Поэтому. Зная коэффициентыисоставим ряд Фурье для функции:

Построим . Сумма ряда во всех точках непрерывности функции совпадает с, то есть. Точка является для функции точкой разрыва первого рода, поэтому то теореме Дирихле.

Рассмотрим пункт b). Функцию на интервале достраиваем как периодическую, четную. Её график симметричен относительно начала координат:

(РИС)

В этом случае коэффициенты ,.

Вычислим коэффициенты ряда:

Запишем ряд Фурье для функции

.

Так как функция непрерывна для всех , то.

Сумма ряда во всех точках непрерывности функции совпадает с , то есть.

Используя разложение для нахождения суммы числового ряда в точке имеем:, откуда находим сумму числового ряда:.