6 Вариант. Задача 1

Смесь газов (2 кг N₂ + 8 кг H₂) с начальной температурой t₁ = 27⁰C сжимается в одноступенчатом поршневом компрессоре от давления Р₁ = 0,1 МПа до давления Р₂ = 0,9МПа. Сжатие может происходить по изотерме, адиабате и по политропе с показателем политропы n = 1,23. Определить для каждого из трёх процессов сжатия конечную температуру газа t₂, отведённое от смеси тепло Q, кВт, изменение внутренней энергии и энтропии смеси и теоретическую мощность компрессора, если его производительность G = 0,8*10³ кг/ч. Дать сводную таблицу и изображение процессов сжатия в PV– и TS–диаграммах.

Решение:

1. Газовая постоянная смеси

R_CM = 8314/ µ_CM,

где µ_CM - молекулярная масса смеси;

µ_CM= 1/[(m_N2/ µ_N2) + (m_H2/ µ_H2)],

µ_N2= 28 кг/кмоль -молекулярная масса азота

µ_H2 = 2 кг/кмоль -молекулярная масса водорода.

Массовые доли азота и водорода а в смеси:

M_N2 = M_N2 / M_см;

m_H2 = M_H2/ M_см;

где M_N2 – масса азота;

M_H2 – масса водорода;

М_см – масса смеси, равная М_см = M_N2 + M_H2.

М_см = 2 + 8 = 10 кг.

m_N2 = 2/10 = 0,2;

m_H2 = 8/10 = 0,8.

µ_CM= 1/[(0,2/ 28) + (0,7/2)] = 2,8,

R_CM = 8314/ 2,8 = 2969 Дж/(кг*К).

2. Начальный объём смеси

Запишем уравнение состояния Р₁*V₁ = M*R_CM*T_1, из которого выразим объём смеси:

V₁ = M*R_CM*T₁/P₁ = 10*2969*300 / (0,1*10⁶) = 89,07 м³.

3. Массовая изобарная теплоёмкость смеси

C_рсм = *C_pi),

где C_pi = µC_рi /µ_i - массовая изобарная теплоёмкость i-го компонента смеси

µC_рi = 29,1 кДж/(кмоль*К) – мольная изобарная теплоёмкость азота и водорода(для двухатомных газов),

C_рсм = 0,2*29,1/28 + 0,8*29,1/2 = 11,848 кДж,(кг*К).

4. Массовая изохорная теплоёмкость смеси

C_vсм = *C_vi),

где C_vi = µC_vi /µ_i - массовая изохорная теплоёмкость i-го компонента смеси

µv_рi = 20,93 кДж/(кмоль*К) – мольная изохорная теплоёмкость азота и

водорода(для двухатомных газов),

C_vсм = 0,2*20,93/28 + 0,8*20,93/2 = 8,522 кДж,(кг*К).

5. Показатель адиабаты:

k = C_рсм/C_vсм = 11,848/8,522 = 1,39.

Изотермическое сжатие.

Конечное давление по условию задачи Р₂ = 0,9 МПа.

При изотермическом процессе T₂ = T₁ = 300 K.

Конечный объём определяем по уравнению:

V₂ = R_CM*Т₂ / P₂ = 2969*300 / (0,9*10⁶) = 0,98 м³.

Работа сжатия:

L = M* R_CM*T*ln(V₂/V₁) = 10*2969*300*ln(0,98/89,07) = - 40167233 Дж.

Изменение внутренней энергии:

При изотермическом процессе температура не меняется, поэтому

∆U =0

Количество теплоты, участвующее в процессе:

Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U,

и ∆U = 0, то Q = L = - 40167233 Дж.

Изменение энтропии:

∆S = M*R_CM*ln(V₂/V₁) = 10*2969*ln(0,98/89,07) = - 133891Дж/К.

Изменение энтальпии:

При изотермическом процессе ∆Н = 0.

Теоретическая мощность компрессора:

N = G*n*l_сж = (0,8*10³/3600)*1*4016723,3 = 892605 Вт.

n = 1;

l_сж = L/M = 40167233/10 = 4016723,3 Дж/кг.

Адиабатное сжатие.

Конечное давление по условию задачи Р₂ = 0,9 МПа.

Конечную температуру определяем из уравнения:

T₂ = T₁*(Р₂ / Р₁ )^(k-1)/k = 300*(0,9/0,1)^{(1,39-1)/1,39} = 556 K.

k – показатель адиабаты.

Конечный объём определяем по уравнению:

V₂^k = P₁*V₁^k / P₂,

V₂^1,39 = 0,1*10⁶*89,07^1,39 / (0,9*10⁶) = 57;

V₂ = 18,33 м³.

Работа сжатия:

L = (M* R_CM /(k – 1))*(T₁ - T₂) = (10*2969 / (1,39 – 1))*(300 - 556) =

= -19488821Дж.

Количество теплоты, участвующее в процессе:

Так как процесс адиабатный, то Q = 0.

Изменение внутренней энергии:

Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U,

и Q = 0, то ∆U = - L = 19488821Дж.

Изменение энтропии:

При адиабатном процессе ∆S = 0.

Изменение энтальпии:

∆Н = М*С_рсм*(Т₂ – Т₁),

∆Н = 10*948*(556 – 300) = 2426880 Дж.

Теоретическая мощность компрессора:

N = G*n*l_сж = (0,8*10³/3600)*1,39*1948882,1 = 601988 Вт.

n = k = 1,39;

l_сж = L/M = 19488821/10 = 1948882,1Дж/кг.

Политропное сжатие

Конечное давление по условию задачи Р₂ = 0,9 МПа.

Конечную температуру определяем из уравнения:

T₂ = T₁*(P₂ / P₁ )^(n-1)/n = 300*(0,9/0,1)^{(1,23-1)/1,23}= 553 K.

Конечный объём определяем из уравнения:

V₂ⁿ = P₁*V₁ⁿ / P₂,

V₂^1,23= 0,1*10⁶*89,07^1,23 / (0,9*10⁶) = 27,8;

V₂ = 14,93 м³.

Работа расширения:

L =[M* R_CM /(n – 1)]*(T₁ - T₂) = [10*2969 / (1,23 – 1)]*(300 - 553) =

= - 32659000Дж.

Количество теплоты, участвующее в процессе:

Q = [М*C_vсм *(n – k)/(n – 1)]*(T₂ – T₁),

Q = [10*682*(1,23 – 1,39)/(1,23 – 1)]*(553 – 300) = - 1200320 Дж.

Изменение внутренней энергии:

∆U = М*C_vсм*(T₂ – T₁) = 10*682*(553 – 300) = 1725460 Дж.

Изменение энтропии:

∆S = M*C_vсм* [(n – k)/(n – 1)]/ ln(T₂/T₁),

∆S = 10*682*10³* [(1,23 – 1,39)/(1,23– 1)]*ln(553/300) = - 2901527 Дж/К.

Изменение энтальпии

∆Н = М*С_рсм*(Т₂ – Т₁) = 10*948*(553 – 300) = 2398440 Дж.

Теоретическая мощность компрессора:

N = G*n*l_сж = (0,8*10³/3600)*1,23*3265900 = 892679 Вт.

n = 1,23;

l_сж = L/M = 32659000/10 = 3265900 Дж/кг.

Результаты расчёта.

Параметры	Изотермическое расширение	Адиабатное расширение	Политропное расширение
V1, м3	89,07	89,07	89,07
P1, МПа	0,1	0,1	0,1
Т1,К	300	300	300
V2, м3	0,98	18,33	14,93
P2, МПа	0,9	0,9	0,9
T2, K	300	556	553
L, Дж	- 40167233	-19488821	- 32659000
Q, Дж	- 40167233	0	- 1200320
∆U, Дж	0	19488821	1725460
∆S, Дж/К.	- 133891	0	- 2901527
∆H, Дж	0	2426880	2398440
N, Вт	892605	601988	892679

Анализируя данные таблицы, приходим к выводу, что в адиабатном процессе теплота не подводится и не отводится. В изотермическом процессе сжатия теплота отводится. Политропный процесс сжатия (имеем <n < протекает также с отводом теплоты от рабочего тела. Наибольшая работа совершается при изотермическом процессе, так как не меняется температура в процессе, следовательно и внутренняя энергия системы также не меняется, а тепло, подведённое, расходуется на совершение работы этой системой.

Изображение процессов расширения в PV- и TS- диаграммах

Р,МПа

V,м³

Р₁

Р₂

V₁

1

2_ад

2_из

2_п

Т,К

∆S,кДж/К

1

2_ад

2_из

2_п

процесс 1-2из – изотермическое сжатие; процесс 1 -2ад – адиабатное сжатие; процесс 1 – 2п – политропное сжатие

1. В каком из процессов сжатия мощность, затрачиваемая на привод компрессора, будет больше?

В политроном процессе сжатия мощность, затрачиваемая на привод компрессора, будет больше, чем при изотермическом и адиабтном сжатии.

2. Какое количество воды необходимо прокачивать через рубашку цилиндра при сжатии газа по изотерме и политропе, если температура воды при этом повышается на 20⁰?

Kоличество охлаждающей воды: М_Н2О = Q/(C_H2O*∆t):

- при сжатии по изотерме: М_Н2О = 40167233/(4190*20) = 479 кг.

- при сжатии по политропе: М_Н2О = 1200320/(4190*20) = 143 кг.

3. Как изменится в вашем варианте задачи показатель адиабаты k = C_p/C_v, если учесть зависимость теплоёмкости газов от температуры?

Находим теплоёмкость смеси в промежутке температур t₁ – t₂ (например, при адиабатном процессе t₁ = 27⁰C; t₂ = 283⁰C):

(С_pN2)_t1^t2 = (C_p2N2*t₂ - C_p1N2*t₁)/(t₂ – t₁) = (1,0455*283 – 1,0392*27)/(283 – 27)= 1,046 кДж/(кг*К);

(С_pH2)_t1^t2 = (C_p2H2*t₂ - C_p1H2*t₁)/(t₂ – t₁) = (14,435*283 – 14,252*27)/(283 – 27) = 14,454 кДж/(кг*К);

С_рi – изобарная теплоёмкость азота и водорода при t₁ и t₂

C_pCM = m_N2*(С_pN2)_t1^t2 + m_H2*(С_pH2)_t1^t2

C_pCM = 0,2*1,046 + 0,8*14,454 = 11,772 кДж/(кг*К)

(С_vN2)_t1^t2 = (C_v2N2*t₂ – C_v1N2*t₁)/(t₂ – t₁) = (0,7502*283 – 0,7424*27)/(283 – 27)= 0,908 кДж/(кг*К);

(С_vH2)_t1^t2 = (C_v2H2*t₂ – C_v1H2*t₁)/(t₂ – t₁) = (10,302*283 – 10,128*27)/(283 – 27) = 10,320 кДж/(кг*К).

С_vi – изохорная теплоёмкость азота и водорода при t₁ и t₂

C_vCM = m_N2*(С_vN2)_t1^t2 + m_H2*(С_vH2)_t1^t2

C_vCM = 0,2*0,908 + 0,8*10,320 = 8,438 кДж/(кг*К)

k = C_pCM/C_vCM = 14,454/8,438 = 1,71.

Если учесть зависимость теплоёмкости от температуры, то в нашем случае коэффициент адиабаты увеличится.