Уравнения электромагнитного поля
Основой математического
описания электромагнитных полей являются
уравнения Максвелла. Он вывел их с
помощью аппарата векторного анализа,
показав, что переменные электрическое
и магнитное поля находятся в неразрывной
взаимосвязи, совокупность которых
представляет собой единое электромагнитное
поле. Основными векторами, характеризующими
электромагнитное поле, являются индукция
и напряженность
магнитного поля, смещение
и напряженность
электрического поля и плотность
электрического тока
.
В указанных современных обозначениях
система уравнений Максвелла, заключающая
в себе теорию электромагнитного поля,
записывается следующим образом.
Вектор магнитной
напряженности 
должен удовлетворять первому
уравнению Максвелла
(1)
В соответствии, с
которым вихрь магнитного поля создается
полным током, определяемым плотностью
тока проводимости
и тока смещения
.
Введение тока смещения в правую часть
уравнения в дополнение к току проводимости
было гениальным открытием Максвелла.
Ток смещения, введенный Максвеллом,
возникает под действием изменяющегося
во времени
электрического поля. Этот ток,
протекая в диэлектрике в процессе его
поляризации, создает собственное поле.
Второе уравнение Максвелла отражает закон электромагнитной индукции, открытый впервые в 1831 году Фарадеем
(2)
Это уравнение
говорит, что любое изменение индукции
магнитного поля приводит к возникновению
вихревого электрического поля с
электрической напряженностью
.
Ленц в 1832 году
вслед за открытием Фарадея показал, что
под действием электрической напряженности
в замкнутом контуре возникает электрический
ток, направленный так, что его магнитное
поле противодействует изменению
исходного (знак “минус” в правой части
уравнения).
Третье уравнение Максвелла – это уравнение непрерывности
(3)
означающее, что нет истоков магнитного поля, нет магнитных зарядов, что линии магнитного поля являются замкнутыми. Это уравнение является математической формулировкой взглядов Фарадея, поддержанных Максвеллом и заключающихся в том, что линии магнитного поля всегда замкнуты или, по крайней мере, не имеют ни начала, ни конца.
Четвертое уравнение Максвелла
(4)
означает, что электрическое поле образуется зарядами, плотность которых равна r, и линии этого поля начинаются и кончаются на этих зарядах. Это уравнение часто называют дифференциальной формой электростатической теоремы Гаусса. Именно великий Гаусс в Германии довел до совершенства теорию потенциала, нашедшую широкое применение в электричестве и магнетизме.
Основные четыре
уравнения Максвелла дополняются обычно
соотношениями, связывающими между собой
значения векторов электромагнитного
поля
.
где – магнитная проницаемость; – диэлектрическая проницаемость – удельная электропроводность среды.
Решение системы уравнений Максвелла представляет собой весьма сложную задачу.Уравнения решаются, как правило, аналитическими или численными методами.
Численные методы, получившие в последние годы широкое признание, в значительной мере обязаны прогрессу быстродействующих цифровых вычислительных машин, которые позволили исследователям решать с высокой степенью точности задачи по определению различных физических полей. Без использования ЭВМ такие расчеты были бы чрезвычайно трудоемки или вообще невозможны.
Среди численных методов наиболее распространенными следует признать метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).
Применительно к задачам электромеханики и энергетики МКЭ позволяет рассчитывать электрические, магнитные, температурные и другие поля. Этот метод является основой комплекса программ ELCUT для инженерного моделирования электромагнитных, тепловых и механических задач.Возникновение МКЭ связывают с решением задач космических исследований. Впервые он был опубликован в 1956 году.