Последний интеграл (2.15) преобразуется к виду
∞
J2K = ∫[Xсв (t) + τ(dXсв (t) / dt)]2 dt + τXсв2 (0) . (2.16)
0
Комбинированная квадратичная оценка будет достигать минимального значения, равного J2K τXсв (0) , если переходный процесс будет близок к оптимальной экспоненте с постоянной времени τ.
2.1.3. Связь показателей качества регулирования с ЛАЧХ разомкнутого контура регулирования
Математические методы теории автоматического управления являются основой для синтеза замкнутых систем регулирования с заданными статическими и динамическими показателями.
Наиболее общие и широко используемые на практике представления о возможностях реализации заданных показателей регулирования дает известная из курса ТАУ связь основных показателей с логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) разомкнутого контура регулирования
Структурная схема контура регулирования, преобразованная к единичной обратной связи для удобства определения ошибки регулирования, представлена на рис. 2.4. Передаточная функция разомкнутого
контура по управляющему воздействию (при FВ (p) = 0 ) имеет вид
Wраз (p) = Wрх (p)Wорx (p) = Wpx (p)W1op (p)W2op (p) (2.17)
где |
Wрх (p),Wорх (p) |
- |
передаточные функции соответственно |
регулятора |
переменной х |
и |
объекта регулирования; W2op (p) - |
передаточная функция объекта регулирования по возмущающему воздействию Fв (p) .
58
Xз 
WРX (p) 
W1ОР (p) 
W2ОР (p)
Fв
Рис. 2.4. Структурная схема замкнутого контура регулирования
Если для рассматриваемого контура регулирования определить передаточные функции ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям, то с их помощью можно получить известное из теории автоматического управления изображение суммарной ошибки замкнутого контура регулирования:
∆XΣ (p) = |
Xз (p) +Fв (p)W2op (p) |
(2.18) |
|
1+ Wраз (p) |
|||
|
|
В результате приемлемых упрощений (2.17) может быть представлена в виде
|
j=n |
|
|
k∏(Tjp +1) |
|
W (p) = |
j=1 |
|
i=m |
||
разх |
||
|
pν∏(Tip +1) |
|
|
i=1 |
где ν — порядок астатизма контура;
m, n — число последовательно включенных инерционных и форсирующих звеньев;
k- коэффициент усиления разомкнутого контура.
(2.19)
соответственно
Для того чтобы после замыкания контура отрицательной обратной связью по регулируемой координате обеспечивались требуемая точность и динамические показатели качества регулирования, необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутого контура имела вполне определенный вид и параметры. Общая форма желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура представлена на рис. 2.5.
59
Чтобы удовлетворить требованиям, предъявляемым к электроприводу в отношении точности регулирования координаты, необходимо формировать низкочастотную область характеристики определенного вида. Эта область определяется коэффициентом k и порядком астатизма системы ν. Если ν = 0, т. е. в разомкнутом контуре регулирования отсутствуют интегрирующие звенья, система является статической системой регулирования, при этом статическая ошибка регулирования определяется в соответствии с (2.18) коэффициентом усиления контура k. Для получения требуемой точности необходимо предусмотреть коэффициент усиления, отвечающий условию
k ≥ Xзmax ,
∆Xдоп
где Xзmax - заданное значение переменной; ∆Xдоп - допустимая ошибка регулирования.
Рис. 2.5. Желаемые частотные характеристики разомкнутого контура регулирования
Если требуется исключить статическую ошибку по заданию,
необходимо, чтобы в контуре был интегрирующий элемент (ν=1), при этом будет иметься динамическая ошибка, возникающая при изменениях задания. Увеличение порядка астатизма (ν=2) повышает при надлежащем коэффициенте усиления k динамическую точность регулирования.
60
Низкочастотная часть желаемой ЛАЧХ, соответствующая ν=0, 1, 2 представлена на рис. 2.5 в виде отрезков прямых 1 – 3. Нетрудно видеть, что повышение порядка астатизма увеличивает значения комплексного коэффициента усиления в низкочастотной части и динамическая точность регулирования возрастает тем в большей степени, чем в более широком диапазоне частот обеспечивается повышение амплитуд.
Динамические показатели качества регулирования определяются главным образом среднечастотной асимптотой ЛАЧХ Lраз(ω). Для получения достаточного запаса устойчивости необходимо, чтобы в районе частоты среза ωс был достаточно протяженный участок с наклоном -20 дБ/дек. Чем шире этот участок, тем выше на частоте
среза запас по фазе ∆ψ(ωс ) = -π- ψ(ωс ) , где ψ(ω) - фазовая частотная характеристика контура. Зависимость ∆ψ(ω) показана на
σ |
% |
= |
Xmax − Xуст |
100% = [1−Sin(∆ψ(ω ))]*100% (2.20) |
|
|
|||||
|
|
Xуст |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота среза ωс |
определяет быстродействие |
контура |
|||
регулирования. С этой частотой связано время нарастания: |
(2.21), |
||||
|
|
|
|
tН ≈ 1,5 − 2,0 |
|
рис. 2.5 (кривая 4).
От запаса по фазе на частоте среза зависят колебательность и
перерегулирование:
|
ωc |
|
||
а также время максимума перерегулирования |
|
|||
tmax ≈ |
|
π |
(2.22). |
|
|
|
|
||
|
ω |
|||
|
|
|||
|
|
c |
|
|
61
Ближайшая нижняя частота сопряжения ω1 влияет на
перерегулирование: по мере приближения ω1 к частоте среза ωс запас по фазе ∆ψ(ωс ) уменьшается и перерегулирование возрастает.
Частота ω1 определяет также время переходного процесса:
tПП ≈ |
π |
+ |
2 |
(2.23). |
ω |
ω |
|||
|
c |
|
1 |
|
|
|
|
Ближайшая к частоте среза верхняя частота сопряжения ω2 и
вся высокочастотная часть ЛАЧХ Lраз(ω) сказывается на начальном участке переходного процесса. Чем ближе частоты сопряжения в этой области к частоте среза, и чем выше наклон удаленной асимптоты, тем больше показанный на рис. 2.2 участок запаздывания tЗ.
Таким образом, требования к точности и динамическим показателям электропривода при регулировании определенной переменной позволяют конкретизировать количественные характеристики желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура. При известной ЛАЧХ объекта регулирования переменной X Lор(ω) желаемая ЛАЧХ разомкнутого контура Lраз(ω) позволяет определить требуемую ЛАЧХ регулятора, вводимого в контур регулирования:
Lp (ω) = Lраз (ω) − Lор (ω) |
(2.24). |
Далее решается техническая задача подбора удобной схемы регулятора и определения его параметров, исходя из (2.24). Этот путь синтеза универсален и позволяет наиболее полно учесть весь комплекс предъявляемых к электроприводу требований в отношении, как точности регулирования, так и его динамических показателей в наиболее сложных случаях.
Однако, при проектировании электроприводов массового применения, при создании унифицированных систем электропривода широкого назначения этот путь сложен и не обеспечивает достаточной конкретности получаемых динамических свойств регулируемого электропривода.
Для случаев, когда в основу синтеза могут быть положены динамические показатели, в теории электропривода разработан
62