4.Классы булевых функций :
Функции сохраняющие ноль T0 и функции
сохраняющие единицу T1 .
T0
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
T0
,
T1
Самодвойственные функции S .
Определение:
называетсясамодвойственной,
если совпадает с двойственной к ней
функцией.
.
Очевидно эквивалентное определение самодвойственной функции:
Определение:
S,
если
принимает противоположные значения на
противоположных наборах.
|
x1 |
x2 |
x3 |
f(x1x2x3)
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
S
0
0
0
0
1Пример:
S
S
S 
S
S
S
S 
S
Монотонные функции M .
Определение:
набор
,
если
;
наборы 0101 и 1001 не сравнимы.
Определение:
M,
если
:
.
y
x1
x2
x
-
x1
x2
x3
f(x1x2x3)
M
0
0
0
0
0
0
1
1
01
0
0
0
1
1
1
10
0
0
1
0
1
1
11
0
1
11
1
1
Метод определения монотонности функции f :
Рассматриваем
все наборы, на которых значение
.
Для этих наборов рассматриваем наборы
большие и если среди больших наборов
нет нуля функции, тогда функция монотонна.
В противном случае она не монотонная.
-
x1
x2
x3
f(x1x2x3)
M0
0
0
0
00
1
1
0
1
0
0
01
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
M
M
M
M
M
M
M
M
Линейные функции L .
Определение: линейные функции – функции, степень полинома Жегалкина которых не больше единицы .
Определение: степенью полинома Жегалкина называется максимальное число переменных в слагаемых этого полинома.
Степень
равна 3.
Степень
равна 1.
Степень 1 равна 0 ; степень 0 равна 0.
-
x1x2
x3
F
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
Методы определения линейности функции f :
1.
Находим полином Жегалкина функции f
и определяем его степень. Если степень
,
то функция линейная. В противном случае
функция нелинейная.
2. Определяем существенные переменные функции f и рассматриваем две возможные линейные функции : сумма найденных существенных переменных и сумма существенных переменных плюс 1. Если исходная функция совпадает с одной из данных двух, то функция линейна. В противном случае функция нелинейная.
Корректность
данного метода следует из факта, что у
линейной функции
все переменные существенные и других
существенных нет.
1) x1 существенная (по 1-ому и 5- ому) ,x2 существенная (по 3- ему и по 1-ому набору), x3 не существенная . Если функция линейная, то она имеет вид либо x1+x2, либо x1+x2+1; подходит первое выражение, поэтому первая функция линейная.
-
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
вторая функция нелинейная
2) x1 существенная (по 4-ому и 8-ому),x2 существенная (по 6-ому и 8-ому), x3 не существенная :
-
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
вторая функция нелинейная
Утверждение: все перечисленные пять классов являются замкнутыми, то есть суперпозиция любых двух функций из каждого класса являются опять же функцией этого класса.
Доказательство :
1) T0
Рассмотрим
T0
T0
Рассмотрим суперпозицию
и покажем,
что полученная
T0.
Для этого найдем значение
на нулевом наборе :
2) T1
Рассмотрим
T1
T1
Рассмотрим
:
3) S
Рассмотрим
S
S
Рассмотрим
:
4) М
Рассмотрим
М
М
Рассмотрим суперпозицию
:
и
рассмотрим
произвольную пару сравнимых наборов
и
:
и покажем, что выполнено :
.
Нетрудно
видеть, что из того, что
следует, что
и
.
В силу того, что :
5) L
Рассмотрим
L
L
, где
α и β
некоторые константы.
Рассмотрим
.
.
Используя ассоциативность и коммутативность операции , преобразуем к виду :
.
Степень
не превосходит 1, следовательно
L.
Критерий Поста полноты :
Для
того, чтобы система
была полной, необходимо и достаточно,
чтобы она целиком не содержалась ни в
одном из пяти классов:T0,
T1
,
S,
M,
L.