Критерий Понтрягина-Куратовского

Граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит графов, гомеоморфных графам и

Определение. Пара графов называются гомеоморфными, если один граф можно получить из другого с помощью последовательности операций подразбиения и стягивания ребер.

Пример. Следующие два графа гомеоморфны: первый граф можно стянуть по вершине .

Доказательство (необходимость):

Если граф планарен, то все его подграфы очевидно планарны. Операция стягивания и подразбиении очевидно не меняет планарности графа. Поэтому, если бы планарный граф содержал подграф, гомеоморфный и , то рассмотренные графы и были бы планарными. А по доказанному они такими не являются.

Что и требовалось доказать.

Раскраски графов

Рассмотрим граф и рассмотрим множество цветов на числах .

Определение. Правильной раскраской графа называется приписание каждой вершине некоторого цвета, такого, что любая пара смежных вершин раскрашена в разные цвета.

Определение. Минимальное число красок, которое необходимо для окраски графа называется хроматическим числом графа.

Пример. Полный граф на вершинах имеет хроматическое число .

Любой полный граф на вершинах имеет хроматическое число . Действительно, приписав к каждой вершине свой цвет, получится правильная раскраска графа. Если число цветов , то какая-то пара вершин будет окрашена в один и тот же цвет. Но в полном графе присутствуют все ребра.

Утверждение. Каждый планарный граф можно раскрасить не более чем красками, т.е. хроматическое число планарного графа .

Будем считать, что рассматриваемый планарный граф является связанным. В противном случае достаточно рассмотреть связные компоненты графа.

Предварительное утверждение: покажем, что в каждом планарном графе существует вершина, степень которой (степень вершины – число ребер графа, один из концов которых является данной вершиной).

Доказательство:

Если число вершин в рассматриваемом графе не больше (), то утверждение очевидно. Поэтому будем считать, что число вершин в рассматриваемом графе не меньше (). Будем считать, что граф связный. Рассмотрим какую-либо планарную укладку рассматриваемого графа.

Число вершин в графе будем обозначать (). Число ребер в графе обозначим (). Число граней графа обозначим ().

Введем следующие обозначения: – степень вершины , – число ребер, возникающих при обходе грани по ее периметру. Например, .

Рассмотрим следующую сумму:

Доказательство:

Действительно, каждое ребро при обходе по всем граням будет учитываться дважды. Если это ребро является границей различных граней, то для каждой из граней ребро будет учитываться по одному разу, как ребро .

Если же ребро входит в древесную часть какой либо из граней, как ребро , то это ребро будет пройдено по периметру данной грани.

В силу того, что число вершин в графе не меньше , то (по крайней мере ребра нужно, чтобы окружить некоторую грань). Число граней будем обозначать (). Получим:

(*)

. Применим формулу Эйлера для планарного связного графа.

Тогда . Подставим данное значение в (*):

(**)

Покажем справедливость следующего равенства:

Действительно, в сумме слева каждое ребро учитывается дважды: как ребро, смежное двум своим концам. Предположим противное: степень каждой вершины . Получим следующее неравенство:

Оно противоречит неравенству (**). Что и требовалось доказать.

Доказательство основного утверждения (хроматическое число планарного графа ):

Доказательство проводится по индукции по числу вершин в планарном графе. Для графа с одной вершиной утверждение очевидно. Допустим, что утверждение доказано для любого планарного графа с числом вершин . Рассмотрим планарный граф с числом вершин . В планарном графе обязательно найдется вершина со степенью . Обозначим эту вершину и рассмотрим какую-либо планарную укладку графа.

Если , то удаляем вершину и ребра инцидентные ей и поулчаем планарный граф с вершинами. По предположению индукции, такой граф можно раскрасить красками. Тогда вершину закрасим незадействованной краской , т.к. число смежных вершин с . Поэтому будем предполагать, что смежна с вершинами. Обозначим вершины, смежные с ней: . Удалим вершину и инцидентные ей ребра. В результате получим планарный граф с вершинами.

По предположению индукции, такой граф модно окрасить красками. Будем считать, что вершины окрашены в цвета соответственно (если какой-либо цвет отсутствует, то вершину окрашиваем в незадействованный цвет). Рассмотрим граф – подграф , который порожден вершинами, окрашенными в цвета (т.е. подграф с вершинами, окрашенными в цвета и всеми ребрами, оба конца которых принадлежат рассматриваемому множеству вершин).

Если вершины находятся в различных компонентах связности данного подграфа, то поменяем цвета ( на ) в той компоненте связности, которой принадлежит вершина . В результате получим правильную окраску. При этом вершина будет окрашена в цвет. Тогда вершину в первоначальном графе можно окрасить в освободившийся цвет. Поэтому будем считать, что и находятся в одной компоненте связности подграфа . Следовательно, существует цепь из вершин, которые окрашены в цвета .

Рассмотрим аналогичный подграф , который порожден вершинами, окрашенными в цвета . При этом вершины находятся в различных компонентах связности (так как вершина окружена циклом, состоящем из вершин, окрашенных в цвета а также вершины . Рассмотрим компоненту связности, которой принадлежит вершина . Поменяем в данной компоненте цвет на , а на . Получаем правильную окраску , в которой вершина окрашена в цвет. Тогда вершину окрасим в цвет.

Что и требовалось доказать.

Утверждение. Хроматическое число любого планарного графа не превышает .

Утверждение. Любой граф можно уложить в -х мерном пространстве без пересечения ребер.

Доказательство.

Рассмотрим прямолинейный отрезок и расположенные на нем вершины графа . Для каждого ребра отведем плоскость. для , для и т.д. расположим эти плоскости в книгу, как изображено на рисунке. Каждое ребро графа расположено в соответствующей ему плоскости. Так как ребра проведены через различные плоскости, то они не пересекаются.

Что и требовалось доказать.