Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 29

29.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного вопроса.

29.2. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны переложили во вторую наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

29.3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.

29.4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

29.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

29.6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаниях равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

29.7. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

29.8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 раз и не более 90 раз.

29.9. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливается 10 %, на втором – 30 %, на третьем – 60 % всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если на втором станке и 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

29.10. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

Задача 30. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

30.1. 30.2.

30.3. 30.4.

30.5. 30.6.

30.7. 30.8.

30.9. 30.10.

Задача 31. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю, объемом выборки n и среднее квадратическое отклонение.

31.1. 31.2.

31.3. 31.4.

31.5. 31.6.

31.7. 31.8.

31.9. 31.10.

В задачах 32-36 исходные данные определяются по номеру зачетной книжки (шифру) студента. Положим значения A, B, C равными соответствующим трем последним цифрам шифра (отметим, что если какая-то цифра шифра равна 0, то соответствующее ей значение A,B или C принимается равным 10).

Задача 32. В каждой из трех урн содержится C черных и B белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Задача 33. Имеется три партии деталей по (10+A+B+C) деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно (10+A), (10+B), (10+C). Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Задача 34. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Для задачи 3 необходимые параметры вычисляем по формулам:

Задача 35. Дано статистическое распределение выборки

	3	7	15			13	5

где ;

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность.

Задача 36

Найти: 1) выборочное уравнение прямойрегрессии Y на X;

2. выборочное уравнение прямой регресии X на Y.

Построить диаграмму рассеивания и графики уравнений регрессии по данной корреляционной таблице:

	1							1
	2	2	1					5
		4	3	2				9
		1	6	C+7	4			18+C
			5	B+4	23-B-C			32-C
				4	7	6		17
					5	4		9
					1	2	3	6
						1	2	3
	3	7	15	17+B+C	40-B-C	13	5

где hx=0,7C;

=2,2A+0,3C; hy=0,6B; =y1+(i-1)hy , .