Введение
В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если № зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2. В задачах 32-36 данные в задачах определяются по последним трем цифрам номера зачетной книжки студента.
Контрольные задания Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Задача
1. Даны векторы
и
в некотором базисе трехмерного
пространства. Показать, что векторы
образуют базис данного трехмерного
пространства и найти координаты вектора
в этом базисе.
(1;2;3),
(-1;3;2),
(7;-3;5),
(6;10;17).
(4;7;8),
(9;1;3),
(2;-4;1),
(1;-13;-13).
(8;2;3),
(4;6;10),
(3;-2;1),
(7;4;11).
(10;3;1),
(1;4;2),
(3;9;2),
(19;30;7).
(2;4;1),
(1;3;6),
(5;3;1),
(24;20;6).
(1;7;3),
(3;4;2),
(4;8;5),
(7;32;14).
(1;-2;3),
(4;7;2),
(6;4;2),
(14;18;6).
(1;4;3),
(6;8;5),
(3;1;4),
(21;18;33).
(2;7;3),
(3;1;8),
(2;-7;4),
(16;14;27).
(7;2;1),
(4;3;5),
(3;4;-2),
(2;-5;-13).
Задача
2. Даны векторы
.
Показать, что векторы
образуют базис четырехмерного пространства
и найти координаты вектора
в этом базисе.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
Задача
3. Даны вершины
треугольника. Найти: 1) длину стороны
;
2) внутренний угол
в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение
высоты, проведенной через вершину
;
4) уравнение медианы, проведенной через
вершину
;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из
вершины
;
7) систему неравенств, определяющих
треугольник
.
Сделать чертеж.
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
4.4.
.
3.5.
.
3.6.
.
3.7.
.
3.8.
.
3.9.
.
3.10.
.
Задача
4. Даны
координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол
между ребрами А1А2 и А1А4;
3)
угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение
плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты,
опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Сделать чертеж.
4.1. А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7), А4 (1;5;0).
4.2. А1(4;4;10), А2(4;10;2), А3(2;8;4), А4 (9;6;4).
4.3. А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4 (7;5;9).
4.4. А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4), А4 (4;7;8).
4.5. А1(10;6;6), А2(-2;8;2), А3(6;8;9), А4 (7;10;3).
4.6. А1(1;8;2), А2(5;2;6), А3(5;7;4), А4 (4;10;9).
4.7. А1(6;6;5), А2(4;9;5), А3(4;6;11), А4 (6;9;3).
4.8. А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1), А4 (2;3;7).
4.9. А1(8;6;4), А2(10;5;5), А3(5;6;8), А4 (8;10;7).
4.10. А1(7;7;3), А2(6;5;8), А3(3;5;8), А4 (8;4;1).
Элементы линейной алгебры
Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице
.
Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
Задача 6. Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
