Задачник по ВМ, 1 семестр+

225. Известно, что значение линейного оператора

на векторе

=

−5

равно

−1

,

9

−20

а на векторе

=

−4

его значение равно

−7 .

Найдите матрицу этого оператора.

1

15

Ответ:

= −5

−5 .

Пересчёт координат1

вектора2

при замене базиса

1,

2 и

1,

2 связаны

226. Известно, что в пространстве 2 два базиса

соотношениями:

1 = 3 1 +22 2,

Пусть

1

и

2

— координаты вектора в базисе

1

и

через2,

1

и

2

—

2

= 10

1

+73

2

.

1

2 .

1

2

а

1

и

2 .

координаты этого вектора в базисе

и

Выразите координаты

и

=

−73 1 +10 2

,

Ответ:

1

2

22

1 −3 2 . .

3 два базиса

227. Известно, что в пространстве

1,

2,

3

и

1,

2,

3

связаны

соотношениями:

1 = −3 1 −7 2 −2 3,

2 = −6 1 +2 2 −2 3,

1, 2, 3

3 = −7 1 −6 2 + 3,

вектор

имеет в базисе

координаты

=

9

.

Найдите координаты этого

3 .

−1

вектора в базисе

1,

2,

−7

−2

Ответ:

= 67 .

−23

3 два базиса

1,

2,

3

1,

2,

3

228. Известно, что в пространстве

и

связаны

соотношениями:

1 = −15 1 +16 2 −6 3,

2 = −24 1 +26 2 −10 3,

3 = 8 1 −8 2 +3 3,

229.

Найдите собственные значения матрицы

=

−1

0 .

0

−1

Ответ:

1 = −1;

2 = 1.

=

−6

4

230.

Найдите собственные значения матрицы

Ответ:

1 = −2,

2 = −9.

3

−5 .

=

2

3 .

231.

Найдите собственные значения матрицы

−1

−2

Ответ:

1,2 = 1.

,

=

7

4 .

232.

если

Найдите собственные значения матрицы −2

−1

6

5

Ответ:

1 =

11

−2 = 0.008264462809917356;

2 =

−2 = 1.

1 .

233.

Найдите комплексные собственные значения матрицы

=

2

1 −2

Ответ:

1,2 = 1±2 .

=

10

6

,

234.

Найдите собственные вектора матрицы

если даны её собственные

значения

1 = 4 и

2 = −2.

−12

−8

Ответ:

1 = 4, 1 =

−1

, , ≠ 0;

1

2 = −2, 2 =

−1

, , ≠ 0.

2

=

6

5 .

235.

Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

−4

−3

Ответ:

1 = −1,

1 =

−1

1

, , ≠ 0;

2 = 2,

2 =

−1

2

, , ≠ 0.

8,

236.

Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

если

=

−4

−1

2

−1 .

1

Ответ:

1

= (

−3)

8

= 6561, 1 =

,

≠ 0;

−1 ,

2 = (−2)

8

= 256,

2 =

1

,

,

≠ 0.

−2

−1, если

237. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

=

−8

−15

6

11 .

5

Ответ:

1

= (1)

−1

= 1, 1

=

, , ≠ 0;

−3

2 = (2)

−1

= 0.5, 2 =

−3

, , ≠ 0.

2

( ), если

238. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

( ) = −4

3

−2

2

−3 +1

и

=

−7 15

−6 12 .

Ответ:

1

= −45,

1 =

−5

,

,

≠ 0;

−3

2 = −134,

2 =

−3

,

≠ 0.

−2 ,

Размерность три

0

−2

0 .

239. Найдите собственные значения матрицы

5

−7

0

−1

1

4

−40 = 0

Ответ: Характеристическое уравнение имеет вид: − 3 +7 2 −2

1 = −2, 2 = 4, 3 = 5.

−6

−9

−14 .

240. Найдите собственные значения матрицы

1

4

10

0

0

−1

−15 = 0;

Ответ: Характеристическое уравнение имеет вид: − 3 −9 2 −23

1 = −1, 2 = −5, 3 = −3.

−1

−10

4 .

241. Найдите собственные значения матрицы

5

14

−4

−9

−21

5

1 = −1, 2 = −3, 3 = 4.

−7

8

−4

,

242. Найдите собственные вектора матрицы

если известны её

−3

10

8

собственные значения:

1 = −5,

2 = −2, 3

= 3.

−5

−9

−1

1

2

3 = −2, 3 = 1 , , ≠ 0.

−1

3

7

−6

,

243. Найдите собственные вектора матрицы

если известны её

−2

12

−6

собственные значения: 1 = −5, 2 = −2.

6

24

−17

2 = −5, 2 =

−1

+

−1

, , ,

2 +

2 > 0,

вместо одного из векторов

4

0

0

−2

244. Найдите собственные вектора матрицы

−9

10

9

,

если известны её

−20

12

18

собственные значения: 1 = 4, 2 = −2.

−18

8

16

2

−4

5

−2

,

245. Найдите собственные вектора матрицы

если известны её

1

13

−25

собственные значения:

1 = −5.

−2

5

−6

Ответ: Характеристическое уравнение имеет вид: −

3 +19 −30 = 0;

2

1 = −5, 1 = 1 , , ≠ 0;

1

1

2 = 3, 2 = 4 , , ≠ 0;

2

1

3 = 2, 3 = 2 , , ≠ 0.

1

−8

1

2 ,

246. Найдите собственные вектора матрицы

если известны её

−7

2

1

собственные значения:

1 = −4.

4

−2

−4

Ответ: Характеристическое уравнение имеет вид: −

3 −10 2 −33 −36 = 0;

1

1 = −4, 1 = 2 , , ≠ 0;

−1

1

−1

> 0,

вместо одного из векторов

2 = −3, 2 = 0 + −2 , , , 2 + 2

4

0

0

последней линейной комбинации может быть вектор-столбец

−1 .

−12

−8

2

247. Найдите собственные вектора матрицы

−18

,

если известны её

22

21

27

собственные значения:

1 = −2.

−8

−10

−8

Ответ: Характеристическое уравнение имеет вид: −

3 +6 2 −32 = 0;

2

0

−7

18

.

248. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

−3

5

−15

0

−3

8

1

2 = −3, 2 = 0 , , ≠ 0;

0

−1

6

−1

−10 .

249. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

10

5

−23

6

2

−13

−1

−3

2 = −2, 2 = −2 , , ≠ 0;

−2

1

3 = −3, 3 = 2 , , ≠ 0.

1

0

−15

8 .

250. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

−3

12

−8

0

−24

13

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

−1

;

1 = 1, 1 = 1 , , ≠ 0

2

0

1

2 = −3, 2 = 0 + −2 , , , 2 + 2 > 0.

251. Найдите

0

−3

собственные значения и собственные вектора матрицы

−27

−12

−18

16

5

12 .

24

12

15

3

;

1 = −1, 1 = −2

, , ≠ 0

2 = −3, 2 =

−3

+

2

, , ,

2 +

2 > 0,

0

вместо одного из векторов

3

−1

−4

0

252. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

1

−1

3

.

3

−4

−3

Ответ: Характеристическое уравнение имеет вид: − 3 +3 −2 = 0;

0

0

−2

−1

1 = −2, 1 = −2 , , ≠ 0;

1

−2

2 = 1, 2 = −1 , , ≠ 0.

0

10

−16

8

.

253. Найдите собственные значения и собственные вектора матрицы

3

−7

4

13

−19

9

−7

Φ ( 1, 2, 3) = −7 12 −8 1 2 −18 1 3 −7 22 −12 2 3 +5 32.

Ответ:

−4

−9

−4

−7

−6 .

−9

−6

5

5

−4

2

.

255. Составьте квадратичную форму, матрица которой имеет вид

−9

5

3

Φ (

1, 2,

3

2

−8

Ответ:

3) = −9 12 +10 1 2 +6 1 3 −4 22 +4 2 3 −8 32 .

1

= 5 1

+5 2,

2

= 4 2

+3 3,

3

= 3

3 .

258. Методом Лагранжа приведите квадратичную форму

3

Φ (

1, 2,

3) = −4 1 +20 1

2 −4 1

3 −21 2 −6 2 3 +40

2

2

2 к нормальному виду и

укажите пример соответствующего преобразования координат.

Ответ:

Φ ( 1, 2,

3) = −

12 + 22 +

32,

1

= 2 1

−5 2 +

3,

2

= 2

2

−4 3,

3

= 5

3 .

Ответ: Φ ( 1,

2, 3) = 2 12 +22 22 +11 32, характеристическое уравнение

− 3 +35 2 −308

+484 = 0.

2

2

267. Приведите квадратичную форму

к

каноническому виду и укажите

соответствующее ортогональное преобразование

Φ ( 1, 2) = − 1

+14

2 +36

1 2

координат.

2) = −13 12 +26 22, замена координат:

1 =

1 (3

1 −2 2),

Ответ: Φ ( 1,

2 = √113(2 1 +3 2).

√13

Ответ:

Φ (

1,

2, 3) = 27 1

−2

2 +54

3

,

замена координат:

1

= √

( 1 − 2 −5 3),

1 +

2),

3 = 1

2

2

2

1

2 =

1 (

(5 1 −5 2 +2 3); характеристическое

27

3

√2

2

√54

уравнение

Аналитическая− +79 −1296геометрия−2916 =(размерность0.

2)

Уравнение прямой

1

=

−6 .

269. Напишите общее уравнение прямой

−3

−3

Ответ: 6

+

−21 = 0.

(2;3) и

(−3; −1).

270. Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точки

Ответ: 4

−5

+7 = 0.

(−4;5) и

271. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки

(4; −1).

+4 =

−5.

Ответ:

272. Принадлежат4 −3ли одной прямой точки

этой прямой.

(7;2)?

Если да, то

укажите общее или каноническое уравнение

(2; −3),

(3; −2),

Ответ: Да, все эти точки принадлежат прямой

−2

+3 или

−

−5 = 0.

Прямая, перпендикулярная другой прямой

1

=

1

273. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

(1; −4)

и

перпендикулярной прямой

5

=

−1 .

+2

−5