5. Геометрическое определение вероятности. Примеры.

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности.

Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.

P(A) = ;

Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной.

Пример. В круг радиуса R=50 бросается точка. Найти вероятность ее попадания во вписанный в круг квадрат.

Решение. P(A) = =; ( R =; a =)

6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В — совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В — несовместные события, то их сумма А + В означает наступление или события А, или события В.

Свойства:

1. А + В = В + А – коммутативность сложения.

2. А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность сложения.

3. А(В + С) = (А+В)(А+С) – законы дистрибутивности.

Примеры.

1) Событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие В – попадание в цель при втором выстреле, тогда событие С = А + В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

2) Если событие А – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то С = А + В есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

7. Теорема сложения вероятностей (с доказательством) и ее следствия. Примеры. 8 Произведение событий и его свойства.

9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры

Вероятность Р(В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается РА(В), или Р(В/А), или Р(В/А).

Теорема Умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

РА(В)=Р(В)

В противном случае, если РА(В) не равно Р(В) событие В называется зависимым от А.

Несколько событий А,В,М… называются независимыми в совокупности, если независимы любые два из них и независимо любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события А,В,М называются зависимыми.

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

10. Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть события H1 , H2 ,K, Hn образуют полную группу попарно несовместных событий. Такие события называются гипотезами. Пусть событие A происходит вместе с гипотезами H1 , H2 ,K, Hn. Тогда для вероятности события A справедлива формула

P( A)  P(H₁ )  P_H ( A)  P(H₂ )  P_H ( A) K P(H_n )  P_H ( A) .

1 2 n

Доказательство. A  AH₁  AH₂ K AH_n . Так как H₁ , H₂ ,K, H_nпопарно несовместные, тоAH₁ , AH₂ ,K, AH_n также попарно несовместные. По правилу сложения вероятностей имеем

P( A)  _ P( AH_i )  _ P(H_i )  P_Hi( A) .

Что и требовалось доказать.

Пример. На город примерно 100 дней в году дует ветер с севера и 200 дней в году – с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе – в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов?

Решение. Другими словами, нужно вычислить вероятность того, что в наугад выбранный день город будет накрыт промышленным смогом. Обозначим следующие события: A воздействие вредных выбросов, H1 ветер дует с севера,H2 ветер дует с запада. По условию имеем