Значения коэффициентов Стьюдента

n δ	0,9	0,95	0,99	0,999
1	2	3	4	5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,65	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 1,96	63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 2,58	636,62 31,60 12,84 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 3,29

Например, задавая доверительную вероятность δ =0.95, по числу проведенных измерений n=5 по табл. 2 можно найти = 2,78. Тогда, определив предварительнопо формуле (35), найдем погрешность ∆X:

(41)

Выражение (41) ввиду малого объема информации дает границы доверительного интервала более широкими.

Результат измерения можно представить в виде:

при δ=0,95, n=5. (42)

Конечно, оценка (42) еще не дает представления об общей погрешности измерения, в которую входит и систематическая ошибка.

Совместный учет случайных и систематическихошибок можно произвести по формуле

При этом следует принять во внимание, что всегда имеет максимальное значение. Максимальное же значение случайных ошибок равно 3σ . Следовательно, для их равноправного учета необходимо предположить, что приборная погрешность β (или ∆_пр) равна утроенной дисперсии распределения погрешностей прибора 3σ_пр ,т.е. погрешности соответствующей надежности δ =0.997. Тогда за систематическую ошибку можно принять и общая погрешность выразитсясоотношением

(43)

Коэффициенты Стьюдента для проведенного числа измерений и бесконечного числа измеренийнаходят по табл.2 для одной и той же заданной надежности δ.

Погрешности косвенных измерений

Часто приходится вычислять искомую величину по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, объем шара можно вычислить, измерив его радиусR . Также измерения называются косвенными.

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, что величины Х₀, У₀ и U₀ связаны равенством

. (44)

Непосредственно измеряются величины Х₀ и У₀, и по этим измерениям мы судим об U₀, считая

(45)

измерением величины U₀.

Предполагается, что измерения Х_i и y_i независимы друг

от друга, и распределены нормально с дисперсиями иЗадача заключается в том, как по известным значениямиопределитьи.

Очевидно, что погрешность косвенного измерения обусловлена погрешностями отдельных измерений и. Поэтому выражение (45) можно переписать в виде:

(46)

Вычитая почленно левые и правые части уравнений (46) и (44). для погрешности косвенного измерения получим:

(47)

Тогда для дисперсии результатов косвенного измерения можно записать выражение:

Здесь член , так как любое произведениеможет быть с равной вероятностью или положительным, или отрицательным.

Учитывая, что и

получим

(48)

или (49)

Равенство (49) определяет соотношение средних квадратичных ошибок прямых и косвенных измерений. Это выражение для частного случая имеет весьма общий характер и называется законом сложения дисперсий.

Следовательно, при измерении нескольких неизвестных величин складываются дисперсии этих величин (не ошибки, а именно дисперсии).

Средние квадратичные ошибки средних арифметических связаны аналогичным образом

(50)

Рассмотрим общий случай, когда u - функция двух переменных х и y:

(51)

Ошибки в величинах х и у такова: , где Х₀ и У₀ - истинные значения величин Х в У. Тогда для результата отдельного измерения можно записать

(52)

Если ‘та функция непрерывна и имеет производные, то ее можно разложить в ряд Тейлора. Рассматривая только члены c нулевыми и первыми степенями малых погрешностей и, получим:

или поскольку

(53)

Частные производные здесь вычисляются при Х=Х₀ и У=У₀. Запишем выражение для дисперсии результатов косвенного измерения:

Учитывая, что

и

получим

(54)

или

(55)

Для относительной погрешности косвенного измерения

учитывая, что иполучим:

(56)