Лабораторная работа № 106а

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ

КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Ознакомиться с элементами теории крутильных колебаний твердого тела и методикой измерения моментов инерции твердых тел с помощью крутильного маятника. Приобрести навыки работы с крутильным маятником.

Приборы и принадлежности: Крутильный маятник с универсальным секундомером, эталонное и исследуемое тела цилиндрической формы.

В В Е Д Е Н И Е

Крутильные колебания – это вращательное движение тела под действием момента упругой силы, который возникает при закручивании натянутой нити. Пусть тело А (см.рис.1) зажато в рамке Б, приделанной к двум нитям (или струнам), которые закреплены в натянутом состоянии в точках В и Г. Если закрутить рамку вокруг направления нити на некоторый угол , то в нити возникает возвращающий упругий момент:

(1)

где - диаметр нити, - модуль сдвига материала нити, и - длины верхнего и нижнего обрезков нити.

Смысл величины понятен из формулы. Если через I и I_р обозначить моменты инерции, соответственно, тела и рамки относительно оси нити то основное уравнение динамики вращательного движения для системы запишется в виде:

(2)

Это – дифференциальное уравнение гармонического колебания, период которого определяется формулой:

(3)

Из формулы (3) легко получить выражение для момента инерции закрепленного в рамке тела:

() (4)

Таким образом, если известны константы прибора А и I_р, то измерение момента инерции сводится к измерению периода крутильных колебаний, и формула (4) является основной расчетной формулой работы.

Постоянные А и I_р можно определить следующим образом. Пусть имеется тело с известным моментом инерции I₀, а период его колебаний равен Т₀. Уравнение (4) для случая, когда тело в рамке отсутствует, примет вид:

(4а)

Т_р – период крутильных колебаний “голой” рамки.

Записав уравнение (4) для I₀ и Т₀ и решая его совместно с уравнением (4а), можно получить:

; (5)

что и является решением поставленной задачи.

Итак, для определения момента инерции исследуемого тел достаточно определить периоды крутильных колебаний "голой" рамки, тела с известным моментом инерции и исследуемого тела. Искомый момент инерции вычисляется тогда по формуле (4), постоянные А и I_р в которой определяются из выражений (5).

О П И С А Н И Е У С Т А Н О В К И

Установка состоит из смонтированного на массивной плите крутильного маятника с универсальным секундомером. На стойке 1 крутильного маятника (см.рис.2) на кронштейнах закреплены концы нитей 2, растягивающих рамку 3 для закрепления исследуемых тел, которая и совершает крутильные колебания вокруг оси., образуемой нитью. На рамке имеется подвижная перемычка 3а, положение которой, в зависимости от размеров зажимаемого, фиксируется стопорными гайками 3б. Заостренный зажимной винт 3в и противоположное ему острие, расположенное на оси нити, служат для фиксации оси вращения тела. Под рамкой на стойке 1 закреплена горизонтальная площадка с крутильной шкалой 4, на которой расположены электромагнит 5 и фотоэлектрический датчик 6, служащий для запуска секундомера и счетчика числа периодов колебаний. Электромагнит 5 удерживает рамку в начальном положении до момента запуска, а его положение задает начальную амплитуду колебаний.

Рис.2. Схема установки

На передней панели универсального секундомера 7 имеются: двухразрядный индикатор счетчика числа полных колебаний, пятиразрядный индикатор секундомера (точность отсчета времени 0,001с) и органы управления – кнопки “СЕТЬ”, “СБРОС”, “ПУСК” и “СТОП”. Питание установки осуществляется от сети 220В.

ВНИМАНИЕ!! При манипуляциях со стопорными гайками 3б и зажимным винтом 3в на рамке при установке и замене исследуемых тел требуется соблюдать осторожность, чтобы не оборвать нити подвеса и не нарушать их крепление. Причем, указанные операции следует проводить только при отключенном состоянии установки.

Э К С П Е Р И М Е Н Т А Л Ь Н А Я Ч А С Т Ь

УПРАЖНЕНИЕ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ПРИБОРА.

1) Включить шнур питания установки в сеть 220В и нажать кнопку “СЕТЬ” на лицевой панели секундомера. При этом на обоих индикаторах должны высветиться нули.

2) Закрепить в рамке 3 тело с известным моментом инерции (большой цилиндр). Для этого, освободив винты 3б, подобрать высоту перемычки 3а по высоте цилиндра, закрепить ее винтами 3б и зафиксировать ось цилиндра, зажав его винтом 3в.

3) Отжав кнопку “ПУСК”, если она была нажата, повернуть рамку вокруг направления нити так, чтобы флажок на нижнем конце рамки притянулся к электромагниту 5.

4) Измерить период крутильных колебаний, для чего, нажав последовательно кнопки “СБРОС” и “ПУСК”, освободить рамку, которая начнет колебаться. По прошествии достаточно большого числа колебаний (не менее 10-ти) нажать кнопку “СТОП”. По индикатору “ВРЕМЯ, с”, отсчитываем время колебаний t, а по индикатору “ПЕРИОДЫ” – число n полных колебаний. Период колебаний находим по формуле:

Измерения проводим три раза, повторяя п.п.3 и 4.

5) Снять с рамки эталонное тело, для чего нужно последовательно ослабить винты 3в и 3б, провести измерение периода крутильных колебаний пустой рамки в согласии с п.п.3 и 4.

Результаты измерений занести в табл.1

Таблица 1

№ п/п	Рамка с эталоном			Пустая рамка			А	Ip
	n	t, c	T0, c	n	t, c	Tp, c
1
2
3

T₀ср= T_pср=

6) по формулам (5) вычислить постоянные А и I_p, используя средние значения периодов, и занести их в конец табл.1.

Момент инерции эталонного цилиндра .

УПРАЖНЕНИЕ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИССЛЕДУЕМОГО

ТЕЛА.

1) Действуя по п.2 упр.1, закрепить в рамке исследуемое тело (меньший цилиндр).

2) Провести, согласно п.п.3 и 4 упр.1 измерения периода Т крутильных колебаний рамки с исследуемым телом.

3) По формуле (4) вычислить для каждого из трех измерений искомый момент инерции. Результаты занести в табл.2.

4) По формуле найти теоретическое значение момента инерции цилиндра. Здесь – масса цилиндра. Диаметр исследуемого цилиндра равен .

Таблица 2

№ п/п	Рамка с образцом
	n,c	T,c	I,
1 2 3

I_ср=

5) Найти абсолютную и относительную погрешности результата измерений.

.

6) Снять исследуемое тело с рамки и выключить установку.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) Что называется крутильными колебаниями?

2) Как зависит период крутильных колебаний от параметров нити (длины, диаметра, модуля сдвига материала нити)?

3) Как зависит период крутильных колебаний от момента инерции колеблющегося тела?

4) Дайте определение момента инерции твердого тела.

5) Выведите формулы (5) для определения постоянных крутильного маятника.

6