Интеграл вероятностей

Интегральная функция нормального распределения результатов измерения F (X) или ошибок F(Δx) в новых переменных будет иметь один и тот же вид:

(26)

Вероятность того, что возможный результат измерения Х окажется внутри заданного интервала (Х₁, Х₂) согласно (26) может быть вычислен по уравнению:

где

В частности, для симметричного относительно истинного значения Х₀ интервала () получим:

(27)

Здесь учитывается, что функция является нечетной.

Функция (28)

называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей (табл.1).

Таблица 1

Функция Лапласа

t	2Ф(t)	t	2Ф(t)	t	2Ф(t)	t	2Ф(t)
0,	0,0000	1,0	0,6827	2	0,9545	3	0,9973
0,5	0,3829	1,5	0,8664	2,5	0,9876	3,5	0,9995

Интеграл вероятностей (28) по уравнению (27) позволяет вычислять вероятность нахождения результата измерения Х или его ошибки ΔХ в заданном симметричном относительно центра распределения интервала (-σt, σt ). Для этого нужно величинузаданного интервале () или () выразить в долях σ .т.е. найтии по табл1 определить искомую вероятность.

Решается и обратная задача. Для заданной вероятности δ (по табл.1) определяют t и по известному σ находят искомый интервал ().

Найдем значения вероятностей δ для интервалов () приt= I. 2. 3 :

Из последнего равенства следует, что 99,73% всех результатов измерений находятся в пределах интервала

() и лишь 0,27% - за его пределами.

На рис.4 искомые вероятности δ изображены заштрихованными площадями под кривыми Гаусса f(t). Вся площадь код кривой равна единице (на рис. 4а

-t=1, δ=0,68; 4б –t=2, δ=0,95; 4в –t=3, δ=0,997).

Те результаты измерений, ошибки которых вышли за пределы ± 3 σ , имеют очень малую вероятность и такие измерения практически невозможны ("правило трех сигм"). При большом числе отсчетов “правило трех сигм” применяют для выявления грубых ошибок - промахов.

Ошибка среднего арифметического

На практике обычно вы-полняется некоторый ряд из n измерений

x₁, x₂, x₃,… x_n. (29)

Этот ряд можно рассмат­ривать как случайную выборку из нормальной генеральной совокупности возможных ре-зультатов с математическим ожиданием М(Х)=Х₀ и диспер- сией :D(х)=σ².

В качестве приближенно­го значения Х₀ целесообразно принять среднее арифмети-ческое из результатов изме-рений:

(30)

Основной задачей теории ошибок является оценка точности приближенного равенства (30).

Среднее арифметическое случайных величин является также случайной величиной, имеющей нормальное распределение с тем же центром М(Х)=Х₀, но с дисперсией

(31)

Величину называют средней квадратичной ошибкой среднего арифметического. Следовательно, средняя квадратичная ошибка среднего арифметического изn измерений в раз меньше средней квадратичной ошибки отдельного измерения.

Следует помнить, что σ зависит от обстоятельств измерений изучаемого объекта, инструмента, обстановки измерений и наблюдателя. Поэтому когда характеризуют точность применяемого способа измерения или же сравнивают качество отдельных результатов (выделение промахов), пользуются величиной σ. Когда же оценивают точность окончательного результата измерений (среднего арифметического), применяют .

Остается выяснить, как можно вычислить из опытных данных (29).

Согласно определению (12) дисперсия можно было бы вычислить следующим образом:

однако нам неизвестно истинное значение х₀.

Если Х₀ заменить его приближенным значением , то, как показывает теория, для вычисления дисперсии получится приближенная формула:

(32)

Дисперсию называют выборочной дисперсией, а разность

(33)

остаточной ошибкой отдельного измерения. Извлекая квадратный корень из (32), получим

(34)

Эта формула, определяющая среднюю квадратичную ошибку по данным случайной выборки, называется формулой Бесселя.

Из выражения (31) аналогично найдем приближенную оценку средней квадратичной ошибки среднего арифметического

(35)