3.5. Заключение

В данной главе изложены методы исследования функций нескольких переменных в задачах оптимизации. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования минимума функции нескольких переменных. Вместе с тем большая часть главы посвящена рассмотрению методов поиска оптимумов. Некоторые методы включены по причинам исторического характера, другие методы являются наиболее эффективными из разработанных к настоящему времени. Рассмотрены методы, в которых используются только значения f (x), значения f (x) и f (x) значения f (x), f (x) и ²f (x). Достаточно подробно освещены вопросы, связанные с важным понятием сопряженности направлений; изложены методы сопряженных градиентов и квазиньютоновские методы. Разумеется, проведенное обсуждение не является полным, и многие полезные методы не рассмотрены из-за ограниченного объема книги. Глава завершается кратким анализом алгоритмов и результатов вычислительных экспериментов.

Контрольные вопросы и задачи

3.1. Объясните, почему направления поиска, которые используются в алгоритме прямого поиска, например в алгоритме Хука — Дживса, должны быть линейно независимыми. Сколько направлений следует использовать в данном случае?

3.2. Опишите две ситуации, в которых метод поиска по симплексу оказывается более предпочтительным, чем метод сопряженных направлений Пауэлла.

3.3. Почему квадратичные функции используются как основа для построения алгоритмов нелинейной оптимизации?

3.4. В чем состоит полезность свойства параллельного подпространства, которым обладают квадратичные функции?

3.5. В чем заключается свойство убывания целевой функции при переходе от итерации к итерации? Почему выполнение этого свойства необходимо для построения эффективного алгоритма? Укажите один алгоритм, обладающий этим свойством, и один алгоритм, который этим свойством не обладает.

3.6. Почему положительная определенность матрицы А^(k) является необходимым условием при решении задач минимизации с помощью квазиньютоновских методов?

3.7. Поясните связь метода Марквардта с методами Коши и Ньютона. Какому из трех перечисленных методов следует отдать предпочтение?

3.8. Возможно ли получение одинаковых точек при использовании методов Дэвидона — Флетчера — Пауэлла и Флетчера — Ривса для решения задачи с квадратичной целевой функцией, если в обоих случаях начальная точка одна и та же? Если возможно, то при каких условиях? Если невозможно, то почему?

3.9. Поясните понятие квадратичной сходимости. Укажите один алгоритм, обладающий свойством квадратичной сходимости, и один алгоритм, который этим свойством не обладает.

3.10. Покажите, что функция

f (x) = 3x+ 2x+ x– 2xx– 2xx+ 2xx– 6x– 4x– 2x

является выпуклой.

3.11. Найдите и классифицируйте стационарные точки функции

f (x) = 2x+ 4xx– 10 xx+ x

линии уровня которой изображены на рис. 3.19.

f (x) = 2x+ 4xx– 10 xx+ x

Риc. 3.19. Линии уровня функции из задачи 3.11.

3.12. Проведите анализ определенности следующих квадратичных форм:

Q(x) = x+ 2x– 3x– 6xx+ 8xx– 4xx,

Q(x) = 2axx+2bxx+2cxx,

Q(x) = x+5x+3x+4xx–2xx–2xx.

3.13. Воспользуйтесь методом Гаусса — Жордана для преобразования следующей квадратичной формы к виду суммы полных квадратов:

Q (x) = x+2xx+4xx+3x+2xx+5x.

Покажите, что эта квадратичная форма положительно определена.

3.14. Пусть в точке х= градиент f () = 0. Что можно сказать о точкех, если

(а) f(x) — выпуклая функция?

(б) f(x) — вогнутая функция?

(в) ²f () — неопределенная матрица?

(г) матрица ²f () положительно определена?

(д) матрица ²f () отрицательно определена?

3.15. Контрпример Пеано. Дана функция

f (х) = (x– ax)(x– ax),

где a и a— постоянные коэффициенты.

(а) Охарактеризуйте точку х = [0, 0].

(б) Покажите, что максимальное значение f(x) на множестве точек кривой, заданной уравнением

x= ½ (a+ a) x,

достигается в начале координат.

(в) Нарисуйте несколько линий уровня этой функции в окрестности начала координат.

3.16. В результате поиска минимума функции

f (х) = [x+ (x+ 1)²] [x+ (x– 1)²]

найдены следующие точки:

(а) х⁽¹⁾ = [0, 0],

(б) х⁽²⁾ = [0, 1],

(в) х⁽³⁾ = [0, –1],

(г) х⁽⁴⁾ = [1, 1],

Классифицируйте полученные точки.

3.17. Пусть требуется переправить 400 ярд³ сыпучего материала через большую реку. Для перевозки груза необходимо построить контейнер. Известны следующие данные: стоимость каждого рейса на противоположный берег реки и обратно равна 4,2 долл.; стоимость материалов для изготовления дна контейнера составляет 20,00 долл./ярд²; боковых стенок контейнера — 5,00 долл./ярд², крышки контейнера — 20,00 долл./ярд².

Сконструируйте контейнер таким образом, чтобы минимизировать полные затраты на перевозку груза.

3.18. Рассматриваются функция Розенброка

f (х) = 100(x– x)+ (1– x)

и начальная точка

х⁽⁰⁾ = [–1.2, 0].

Найдите точку x*, которой соответствует минимальное значение f (x*), пользуясь:

(а) методом поиска по симплексу Нелдера и Мида (проведите четыре итерации), затем при начальной точке х⁽⁰⁾ проведите счет по программе SPX из библиотеки программ OPTLIB [22] или по другой подходящей программе по вашему выбору;

(б) методом Хука — Дживса (программа PS в OPTLIB);

(в) методом сопряженных направлений Пауэлла (программа PCD в OPTLIB).

3.19. На рис. 3.20 изображен бункер, для хранения зерна.

Требуется выбрать значения параметров h, d и φ таким образом, чтобы бункер имел заданный объем (v* = 10м³), а его стоимость была минимальной. Основание бункера изготавливается из деревянных плит стоимостью С₁ = l долл./м², а остальная часть бункера — из листового металла стоимостью С₂ = 1,5 долл./м². Воспользуйтесь ограничением на объем бункера для того, чтобы исключить одну переменную из целевой функции, и решите получаемую в результате задачу с двумя переменными с помощью метода поиска по образцу (θ = 30°). Указание. Полезно попытаться описать геометрическую форму бункера с помощью другого (эквивалентного) множества управляемых переменных.

Рис. 3.20. Бункер для хранения зерна.

3.20. На рис. 3.21 схематически изображена система подачи газа по трубам [76], в которой компрессорные станции расположены на расстоянии L миль друг от друга.

Рис. 3.21. Схема газопровода.

Суммарные затраты на эксплуатацию газопровода в течение года определяются

функцией

C (D, P_l, L, r) = 7,84D²P₁+ 450000 + 36900D ++

+(r– 1) (долл./год), (1)

где D — внутренний диаметр труб, дюйм; P₁ — давление на выходе компрессора, фунт/дюйм²; L — расстояние между компрессорными станциями, миля; r = P₁/P₂ — отношение .давлений на выходе и входе компрессора. Предположим, что расход газа в единицу времени можно описать функцией

Q = 3.39 (фут³/ч.), (2)

где f = 0,008D — коэффициент трения. Пусть расход газа составляет 100 10⁶ фут³/день. Воспользуйтесь формулой (2) для исключения переменной P₁ из (1). Затем с помощью метода поиска по симплексу Нелдера и Мида и метода сопряженных направлений Пауэлла найдите такие значения параметров системы, которым соответствует минимум суммарных эксплуатационных затрат в единицу времени.

3.21. Найдите координаты точек минимума функции Химмельблау (рис. 3.1)

f (x) = (+ – 11)+(+ – 7)

с точностью до трех десятичных знаков. Воспользуйтесь методом Хука — Дживса при поиске из следующих начальных точек:

х⁽¹⁾ = [5, 5]^T, х⁽²⁾ = [5, –5]^T, х⁽³⁾ = [0, 0]^T,

х⁽⁴⁾ = [–5, –5]^T, х⁽⁵⁾ = [–5, 0]^T

3.22. Заданы текущее приближение к решению х^(k) и направление поиска s(x^(k)). Итерации проводятся по формуле (3.42). Покажите, что

α* = ,

если целевая функция квадратичная:

f (x) = q (x) = a + b²x + xCx.

3.23. Определите размеры прямоугольного контейнера открытого типа (без крышки), стоимость которого минимальна. (Пусть v* = 10 м³.)

3.24. Заданы функция q (х) = 8x+ 4xx+ 5x, начальная точка x⁽⁰⁾ = [10, 10]^T и два линейно независимых направления

d⁽⁰⁾ =q (x⁽⁰⁾) = [200, 140]^T, d⁽¹⁾ = [7, – 10]^T.

Определите новое направление поиска (S⁽¹⁾ = d⁽¹⁾ + β∆g⁽¹⁾), сопряженное с d⁽⁰⁾. Используйте эти направления при поиске точки х*: сначала проведите поиск в направлении S⁽⁰⁾ = d⁽⁰⁾, затем из полученной точки минимума проведите поиск в направлении S⁽¹⁾. Сравните S⁽¹⁾ с направлением, полученным по методу Флетчера — Ривса.

3.25. Найдите направление, ортогональное вектору

s= , x = [0, 0, 0]^T.

Найдите также направление s₂, сопряженное с s₁ в той же точке при условии, что целевая функция равна

f (x) = x+ 2x– xx+ 3x– 2xx+ x.

3.26. Определите и классифицируйте стационарные точки функции

f (x) = x– xx+ x– 2x+ 3x– 4.

3.27. Изон показал, что задача выбора (с целью минимизации инерции передачи) передаточных отношений в понижающей зубчатой передаче, образованной тремя прямозубыми цилиндрическими колесами и имеющей суммарное передаточное число 10, эквивалентна задаче минимизации функции (3.93). Воспользуйтесь методами Хука — Дживса, Коши и Флетчера — Ривса для нахождения приближенных значений координат точки х* при х⁽⁰⁾ = [0.5, 0,5]^T.

3.28. Заданы функция

f (х) = 100(x– x)+ (1– x)

и две первые точки, полученные в процессе поиска точки минимума функции f:

х⁽⁰⁾ = [–1.2, 1], х⁽¹⁾ = [–1.3, 1.07].

Определите направление поиска из точки х⁽¹⁾ пользуясь следующими градиентными методами: (а) методом Коши, (б) модифицированным методом Ньютона, (в) методом Флетчера — Ривса, (г) методом Марквардта (λ⁽¹⁾ = 100).

3.29. Исследуйте влияние ε₂ — параметра сходимости для поиска вдоль прямой — на процедуры расчетов по методам Флетчера — Ривса, Дэвидона — Флетчера — Пауэлла и Бройдена — Флетчера — Шэнно. Используйте каждый из перечисленных методов для решения задачи минимизации функции Вуда (3.94) при х⁽⁰⁾ = [–3, –1, –3, –1]^T. Положите ε= αε, α = 0,01, 0,1, 1 и 10; при этом значение параметра сходимости алгоритма ε следует выбирать в зависимости от характеристик используемой ЭВМ. Примечание: для ЭВМ CDC–6500 можно выбрать ε= 10^–4.

3.30. Рассмотрите задачу 3.19, в которой речь шла об определении параметров геометрической формы бункера для хранения зерна. Исследуйте влияние отношения c/c на оптимальную форму бункера. В частности, найдите оптимальные решения при c/c = 0.5, 1.5 и 3 и проиллюстрируйте ответы рисунками. Какие общие выводы можно при этом сделать?

3.31. Проведите три итерации в соответствии с методом Коши, модифицированным методом Ньютона и методом Дэвидона — Флетчера — Пауэлла для минимизации функции Пауэлла

f (x) = (x+ 10x)+ 5(x–x)+ (x– 2x)+ 10(x–x)

при х⁽⁰⁾ = [3, –1, 0, 1]^T.

3.32. В процессе проведения экспериментов инженер устанавливает наличие функциональной зависимости некоторой величины Q от переменной t. Он имеет определенные основания…

52