2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Тогда

Решение

Неопределенность вида 1∞. Для того чтобы раскрыть эту неопре- деленность, представим основание в виде 1 + α(x), а в показателе вы- делим множитель 1/α(x):

41

Решение

Неопределенность вида ∞ – ∞. Домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему выражение

n + 5 + n − 4 , после чего воспользуемся формулой разности квадратов (a − b)(a + b) = a2 – b2:

Пример 1.5.10

Вычислить nlim→∞ (3 8 − n3 + n).

Решение

Неопределенность вида − ∞ + ∞. Домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему выражение

(3 8 − n3 )2 − n3 8 − n3 + n2 , после чего воспользуемся формулой суммы кубов (a + b)(a2 – a b + b2) = a3 + b3:

42

Решение

Разделим числитель и знаменатель на n в наибольшей степени, т.е. на n2:

Последовательность {sin2n} – ограниченная последовательнось, а последовательность {1/n} – бесконечно малая. Произведение беско- нечно малой последовательности на ограниченную последователь- ность является бесконечно малой. Следовательно,

Аналогично, последовательность {cos n} – ограниченная, а после- довательность {1/n2} – бесконечно малая. Следовательно,

Домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на

сопряженное к нему выражение n +1 + n , после чего воспользуемся формулой разности квадратов (a − b)(a + b) = a2 – b2:

43

Последовательность {cos(πn)} – ограниченная последовательнось, а последовательность { n + 1 − n} – бесконечно малая. Произведе-

ние бесконечно малой последовательности на ограниченную после- довательность является бесконечно малой. Следовательно,

1.6. Предел функции

Любой интервал, содержащий точку x0, называется окрестностью

проколотой δ-окрестностью точки x0.

Функция f(x), называется ограниченной в окрестности U(x0) точки x0, если существует такое число М > 0, что │f(x)│ < M для любого

x U(x0).

Определение предела функции

1. По Коши.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой проколотой окрест-

ности U (x0 ) = (x0 − r, x0 ) (x0 , x0 + r) точки x0, где r > 0 – некоторое число. Тогда число a называется пределом функции f(x) в точке х0 и обо-

значается lim f (x) = a , если для любого положительного числа ε (ε > 0)

x→ x0

существует такое положительное число δ(ε), зависящее от ε, что для

всех x U (x0 ) и удовлетворяющих неравенству 0 < │x – x0│ < δ(ε), бу-

дет верно неравенство │f(x) – a│ < ε. Или с помощью логических сим- волов:

lim f (x) = a ε > 0 δ(ε) > 0 : x : 0 < x − x0 < δ f (x) − a < ε.

x→ x0

Также определение предела функции можно записать, используя понятие окрестности:

lim f (x) = a ε > 0 δ(ε) > 0 : x U δ (x0 ) f (x) − a < ε.

x→ x0

44

Данное определение можно проиллюстрировать следующим обра- зом (рис. 1.38). Возьмем число ε > 0 и на оси OY отметим ε-окрестность точки а, т.е. интервал (а − ε, а + ε), через концы которо- го проведем прямые, параллельные оси OX. Получим полосу шириной 2ε. Если для любого ε > 0 можно указать такое положительное чис- ло δ, что график функции y = f(x), рассмотренный для всех x из δ-окрестности точки x0 и не равных x0, целиком находится в этой поло- се, то число а является пределом функции f(x) при x, стремящемся к x0.

Y

а+ ε

а

а− ε

Рис. 1.38

2. По Гейне.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой проколотой окре-

стности U (x0 ) точки x0. Тогда число a называется пределом функции f(x) в точке х0, если для любой последовательности {xn} значений

аргумента x U (x0 ) , сходящейся к точке х0, соответствующая по- следовательность значений функции {f(xn)} сходится к числу а.

Односторонние пределы

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой правой проколо-

той окрестности U + (x0 ) = (x0 , x0 + r) точки x0, где r > 0 – некоторое число. Число а называется пределом функции при х → x0 + 0 справа

условия 0 < x – x0 < δ(ε) следует условие│f(x) – a│ < ε.

45

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой левой проколотой

окрестности U − (x0 ) = (x0 − r, x0 ) точки x0, где r > 0 – некоторое чис-

ло. Число а называется пределом функции при х → x0 – 0 слева

Предел в бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена для всех x, таких, что │x│ > r, где r > 0 – некоторое положительное число. Число а называется преде-

лом функции при х → ∞ ( lim f (x) = a ), если для любого ε > 0 сущест-

x→∞

вует такое положительное число δ(ε) > 0, зависящее от ε, что для лю- бого х из условия │x│ > δ(ε) следует неравенство │f(x) – a│ < ε.

Пусть функция y = f(x) определена для всех x, таких, что x > r.

Число а называется пределом функции при х → +∞ ( lim f (x) = a ),

x→+∞

если для любого ε > 0 существует такое положительное число δ(ε) > 0, зависящее от ε, что для любого х из условия x > δ(ε) следует неравен- ство │f(x) – a│ < ε.

Пусть функция y = f(x) определена для всех x, таких, что x < −r.

Число а называется пределом функции при х → −∞ ( lim f (x) = a ),

x→−∞

если для любого ε > 0 существует такое положительное число δ(ε) > 0, зависящее от ε, что для любого х из условия x < −δ(ε) следует неравен- ство │f(x) – a│ < ε.

Основные теоремы о пределе функции

1.Пусть при x → x0 существуют конечные пределы функций f1(x)

иf2(x). Тогда при x → x0 также существуют пределы суммы, разности

ипроизведения этих функций, при этом

46

2. Если при x → x0 функция f(x) имеет предел, то этот предел единственный.

3. Если g(x) ≤ f(x) для всех x U (x0 ) и функции g(x) и f(x) имеют в точке x0 предел, то

lim g(x) ≤ lim f (x).

x→ x0 x→ x0

4. Если ϕ(x) ≤ f(x) ≤ g(x) для всех x U (x0 ) и функции ϕ(x) и g(x) в точке x0 имеют один и тот же предел, равный а, то и функция f(x) в точке x0 имеет предел, равный этому же числу:

5.Если функция f(x), определенная в окрестности точки x0, имеет

вэтой точке конечный предел, то она ограничена в некоторой окре- стности этой точки.

7. Если функция f(x) = С – постоянная в некоторой проколотой

окрестности точки x0, то lim f (x) = C.

x→ x0

Замечательные пределы

Частое применение находят следующие пределы:

lim sin x = 1 – первый замечательный предел,

x→0 x

1

lim(1+ x) x = e – второй замечательный предел

x→0

47

или

необходимо с помощью преобразований избавиться от этих неопре- деленностей.

Эквивалентные функции

Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой ок- рестности точки x0 и отличны от нуля во всех точках этой окрестно- сти. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x → x0, если предел их отношения при x → x0 равен единице:

Пусть функция f(x) эквивалентна функции f1(x), а функция g(x) эк- вивалентна функции g1(x) при x → x0. Тогда, если существует

48

Бесконечно большие функции

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестно-

сти U (x0 ) точки x0. Тогда функция f(x) имеет в этой точке бесконеч-

ный предел ( lim f (x) = ∞ ), если для любого сколь угодно большого

x→ x0

числа Е > 0 существует такое число δ(Е) > 0, зависящее от Е, что для

любого x U (x0 ) из условия 0 < │x – x0│ < δ(Е) следует условие │f(x)│ > E. Или с помощью логических символов:

lim f (x) = ∞ Е > 0 δ(E) > 0 : x : 0 < x − x0 < δ f (x) > E.

x→ x0

Если lim f (x) = ∞ , то функцию f(x) называют бесконечно большой.

x→x0

Бесконечно малые функции

Пусть функция α(x) определена в некоторой проколотой окрест-

ности U (x0 ) точки x0. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → x0, если

lim α(x) = 0.

x→ x0

Одна и та же функция может быть бесконечно малой или не быть в зависимости от того, к какому значению стремится x. Например, функция α(x) = cos x – бесконечно малая функция при x → π/2, так

как lim cos x = 0 , но функция cos x не является бесконечно малой

x→π / 2

функцией при x → 0, так как lim cos x = 1.

x→0

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть функции α(x) и β(x) определены в некоторой проколотой ок- рестности точки x0 и отличны от нуля во всех точках этой окрестности. Бесконечно малые при x → x0 функции α(x) и β(x) называются эквива- лентными если предел их отношения при x → x0 равен единице:

Бесконечно малые при x → x0 функции α(x) и β(x) называются сравни-

49

Бесконечно малые при x → x0 функции α(x) и β(x) называются беско-

нечно малыми одного порядка малости, если

lim α(x) = C ≠ 0.

x→ x0 β(x)

Бесконечно малая при x → x0 функция α(x) называется бесконечно ма-

лой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая β(x),если

lim α(x) = 0.

x→ x0 β(x)

Обозначение: α(x) = o(β(x)).

Бесконечно малая при x → x0 функция α(x) имеет порядок малости r (r > 0) относительно бесконечно малой β(x), если

Свойства бесконечно малых функций

1.Сумма (разность) двух бесконечно малых при x → x0 функций есть бесконечно малая функция при x → x0.

2.Произведение бесконечно малой функции при x → x0 на огра- ниченную в некоторой проколотой окрестности точки x0 функцию есть бесконечно малая функция при x → x0.

3.Сумма двух бесконечно малых при x → x0 функций разного по- рядка малости есть бесконечно малая функция меньшего порядка.

Из определения предела функции следует, что число а является пределом функции f(x) в точке x0 тогда и только тогда, когда эта

функция представима в виде f(x) = a +α(x), где α(x) − бесконечно ма- лая функция при x → x0.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

Пусть α(x) → 0, тогда

sin α(x) ~ α(x); tg α(x) ~ α(x);

1 – cos α (x) ~ 1 α2 (x); 2

50