2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

г) y = xarcsinx.

2. С помощью правила Лопиталя вычислить:

3. Провести полное исследование и построить графики функций:

4. Разложить по формуле Маклорена до о(х4) функцию

201

Библиографический список

Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной ал- гебры. – М.: Высш. шк., 1987.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Элементы ли- нейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высш. шк., 1999. – Т. 1.

Ефимов А.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука,

1972.

Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для ВТУЗов. – М.: Наука, 1995. – Ч. 1.

202

Приложение

Формулы сокращенного умножения

a2 – b2 = (a – b) (a + b);

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2;

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2);

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2);

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Решение простейших уравнений

1. Линейным уравнением называют уравнение вида

ax + b = 0 (a ≠ 0).

Тогда x = − b – корень этого уравнения. a

2. Квадратным уравнением называют уравнение вида

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Для его решения находим дискриминант D по формуле

D = b2 – 4ac,

Тогда:

a) если D > 0, то уравнение имеет два корня, которые находят по формулам

б) если D = 0, то уравнение имеет один корень x = − b ;

2a

в) если D < 0, то корней нет.

203

3.ax + b = 0. cx + d

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель от- личен от нуля:

4.P(x) = 0, где Р(х), Q(x) – некоторые функции переменной х.

Q(x)

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель от- личен от нуля:

в) если b < 0, то корней нет.

7. x2n+1 = b, где n N x = 2n+1 b – корень уравнения. 8. 2n x = b , где n N. Tогда:

а) если b > 0, то x = b2n; б) если b = 0, то x = 0;

в) если b < 0, то нет корней.

9. 2n+1 x = b , где n N x = b2n+1 – корень уравнения.

10.ax = b (a > 0; a ≠ 1). Tогда: а) если b > 0, то x = logab;

б) если b ≤ 0, то корней нет.

11.logaх = b(a > 0; a ≠ 1). Тогда x = ab – корень уравнения.

204

Уравнение окружности

Окружность с центром в точке О (a, b) и радиусом r описывается уравнением

(х – а)2 + (y – b)2 = r2.

Действия со степенями

Пусть a > 0, b > 0, тогда справедливы формулы:

Логарифмы

Логарифмом числа b по основанию a (logab, где a > 0, b > 0, a ≠ 1)

называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b:

c = logab ac = b.

Свойства логорифмов

Пусть a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0. Тогда справедливы формулы

aloga b = b ;

loga1 = 0;

205

logaa = 1; logab = logac b = c;

loga(b c) = logab + logac;

b

loga c = logab – logac;

logab = logc b (c ≠ 1); logc a

loga p b = 1 loga b ; p

logabp = p logab.

206

Учебное издание

Плужникова Елена Леонидовна Разумейко Борис Григорьевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Учебное пособие

Редактор М.В. Линчевская

Компьютерная верстка И.Г. Иваньшиной

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

207