2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb
.pdfarcsin α (x) ~ α (x);
arctg α (x) ~ α (x); aα(x) – 1 ~ α (x) ln a; eα(x) – 1 ~ α (x);
loga (1 + α (x)) ~ α (x) loga e; ln (1 + α (x)) ~ α (x);
(1 + α (x))m – 1 ~ mα (x).
Если α(x), β(х) – бесконечно |
малые функции и α(x) ~ α1(x), |
||||
a β(х) ~ β1(х) при x → x0, то |
|
|
|
||
lim |
α(x) |
= lim |
α1 (x) |
. |
|
|
|
||||
x→ x0 β(x) x |
→ x0 β (x) |
||||
|
|
|
1 |
|
При вычислении предела частного двух бесконечно малых функ- ций одну из них или обе можно заменить эквивалентными им беско- нечно малыми функциями.
Наиболее распространенные ошибки при вычислении предела функции:
1)замена функции f(α(x)) на эквивалентную бесконечно малую в случае, если функция α(x) не стремится к нулю;
2)замена функции, не являющейся множителем всего выражения, на эквивалентную функцию (чаще всего такая ошибочная замена де- лается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).
Например, нельзя заменить бесконечно малую при x → 1 функцию
sin (πx) на функцию α(x) = πx, так как при x → 1 функция α(x) = πx
не стремится к нулю. Также нельзя в пределе lim |
arctg x − sin x |
заме- |
|
x3 |
|||
x→0 |
|
нить функции arctg x и sin x на эквивалентную им бесконечно ма- лую при x → 0 функцию α(x) = x, так как в случае суммы (разности) функций замену их на эквивалентные бесконечно малые произво- дить нельзя.
Пример 1.6.1
Вычислить lim 2x + 3 .
x→−1 x − 1
51
Решение
lim |
2x + 3 |
= |
2(−1) + 3 |
= |
1 |
= − |
1 |
. |
|
|
−2 |
|
|||||
x→−1 x − 1 |
|
−1− 1 |
2 |
|
Пример 1.6.2
Вычислить |
− x2 + 3x + 1 |
|
lim |
. |
|
|
x→∞ 2x2 |
− x + 2 |
Решение
Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:
− x |
2 |
+ 3x + 1 |
∞ |
|
−1+ |
3 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
x |
2 |
1 |
|
||||||||||||
lim |
|
|
= |
= lim |
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
x→∞ 2x2 |
− x + 2 |
|
∞ |
x→∞ 2 − |
+ |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
Пример 1.6.3
Вычислить lim |
− x2 + x + 2 |
. |
|
x→∞ |
3x −1 |
Решение
Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:
− x |
2 |
+ x + 2 |
∞ |
|
−1+ |
1 |
+ |
2 |
−1 |
|
|||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||
lim |
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
= ∞. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
x→∞ 3x − 1 |
|
∞ |
x→∞ |
− |
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.6.4
Вычислить |
lim |
x + 1 − 3 8x6 |
+ x2 |
||
|
|
|
. |
||
|
− 2 − 3 |
|
|||
|
x→+∞ 4x4 |
− x |
Решение
Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:
|
|
|
|
x +1 |
3 |
8x6 + x2 |
|
||||
|
x +1 − 3 8x6 + x2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
lim |
= lim |
|
x2 |
|
x2 |
= |
|||||
4x4 − 2 − 3 −x |
|
4x4 − 2 |
|
||||||||
x→+∞ |
x→+∞ |
|
− |
3 −x |
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
52
|
|
x + 1 |
− |
3 8x6 + x2 |
|
|
1 |
+ |
1 |
|
− 3 8 + |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 − 3 8 |
= −2 = −1. |
|||||||||||||||
= lim |
|
x4 |
|
|
3 x6 |
|
|
= lim |
|
x3 |
x4 |
x4 |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||||||||
x→+∞ |
4 |
− 2 |
|
−x |
x→+∞ |
|
|
|
|
4 − 0 2 |
||||||||||||||||
|
|
4x |
|
|
− |
|
|
|
4 − |
|
|
|
− 3 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.6.5
3 |
− x − 4 |
81x8 − 2 |
||
Вычислить lim |
|
|
|
. |
|
|
|
||
x→+∞ (x − x) |
4x2 − 3 |
Решение
Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x2:
|
|
|
|
3 −x |
4 |
81x8 − 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
3 −x − 4 81x8 − 2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
3 − |
|
− 4 |
81− |
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
x8 |
|||||||||
lim |
= lim |
|
x2 |
|
x2 |
|
= lim |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→+∞ (x − x) 4x2 − 3 x→+∞ (x − |
x) |
4x2 − 3 |
|
x→+∞ |
x − x |
|
|
4x2 − 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
3 − |
1 |
− 4 81− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
x5 |
x2 |
= |
0 − 4 81 |
= − 4 81 = − |
3 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
x→+∞ |
− |
1 |
) 4 − |
3 |
|
|
|
(1− |
0) 4 − 0 |
2 |
|
||||||
(1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Пример 1.6.6 |
( x + 1 − x + 2 ). |
Вычислить lim |
|
x→+∞ |
|
Решение |
|
Неопределенность вида ∞ – ∞. Чтобы раскрыть неопределенность,
умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, т.е. |
|||||||||||||||
на ( |
x + 1 + x + 2 ) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
( |
x + 1 − |
x + 2) = (∞ − ∞) = lim |
( |
x + 1 − |
x + 2)( |
x + 1 + |
x + 2) |
= |
||||||
|
|
|
x + 1 + |
x + 2 |
|
|
|||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x +1− (x + 2) |
|
x +1− x − 2 |
|
|
−1 |
|
|
|
1 |
||||
= lim |
|
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|
= 0. |
|||
x +1 + |
x + 2 |
|
|
x +1 + |
x + 2 |
|
|||||||||
x→+∞ |
x→+∞ x +1 + x + |
2 x→+∞ |
|
∞ |
53
Пример 1.6.7
Вычислить lim x ( x + 2 − x − 2 ).
x→+∞
Решение
Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель |
||||||||||||||||||||||||||||
на сопряженное выражение, т.е. на |
( x + 2 + |
x − 2 ) : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
x ( x + 2 − |
x − 2 ) = lim |
|
|
x |
( |
x + 2 − |
x − 2)( |
|
|
x + 2 + x − 2) |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|||||||||||
|
= lim |
|
x(x + 2 − x + 2) |
= lim |
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2 + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→+∞ |
x + 2 + |
x − 2 |
|
|
x→+∞ |
x − 2 |
||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
4 |
|
|
|
= |
4 |
= 2. |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
x→+∞ |
1+ |
+ |
1− |
|
|
x→+∞ |
+ |
+ |
1− |
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 1.6.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 7x + 3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычислить |
lim ( |
|
x2 − 2x − 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель |
||||||||||
на сопряженное выражение, т.е. на |
( |
x2 − 2x − 1 + |
x2 − 7x + 3): |
|||||||
|
|
lim ( |
x2 − 2x − 1 − |
x2 − 7x + 3 )= |
|
|
|
|||
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x2 − 2x − 1 − x2 − 7x + 3)( x2 − 2x − 1 + x2 − 7x + 3) |
= |
||||||||
= lim |
|
x2 − 2x − 1 + x2 − 7x + 3 |
|
|||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
||||||
= lim |
|
x2 − 2x − 1− x2 + 7x − 3 |
= lim |
|
5x − 4 |
|
. |
|||
|
x2 − 2x − 1 + |
|
|
x2 − 2x − 1 + |
|
|
||||
x→+∞ |
x2 − 7x + 3 x→+∞ |
|
x2 − 7x + 3 |
Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x:
54
|
5 − |
4 |
|
|
|
|
5 − |
4 |
|
|
|
|
|||
lim |
x |
|
= lim |
|
|
x |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 − 2x − 1 |
|
|
|
|
x2 − 2x − 1 |
|
|
|
|||||||
x→+∞ |
+ |
|
x2 − 7x + 3 x→+∞ |
+ |
|
|
x2 − 7x + 3 |
||||||||
|
x |
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
5 |
= |
5 |
= 2,5. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− 1 + 1− 7 + 3 1 |
+ 1 2 |
|
||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
x x2 |
|
|
|
|
Пример 1.6.9 |
( x2 |
− 2x − 1 − x2 − 7x + 3). |
Вычислить lim |
||
x→−∞ |
|
|
Решение
Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (см. пример 1.6.8):
lim |
( x2 |
− 2x − 1 − |
x2 − 7x + 3)= lim |
5x − 4 |
. |
|
|||||
x→−∞ |
|
|
x→−∞ x2 − 2x − 1 + x2 − 7x + 3 |
|
Разделим числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. на x:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x → −∞ x < 0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→−∞ |
|
x |
2 |
− 2x − 1 |
+ |
|
x |
2 |
− 7x + 3 |
|
|
x |
2 |
= |
x |
= − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||
x→−∞ |
2 |
− |
2x − 1 |
|
|
|
|
2 |
− 7x + 3 |
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
− |
x |
|
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
− 1− |
|
− |
|
|
|
− 1− |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 |
|
= − |
5 |
= −2,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.6.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 8 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вычислить |
|
lim x( x + 8 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
Решение
Неопределенность вида ∞ – ∞. Умножим числитель и знаменатель |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
на сопряженное выражение, т.е. на |
( |
x + 8 + |
x − 8 ): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim x( |
x + 8 − x − 8 ) = lim |
|
x( |
x + 8 − |
x − 8)( |
x + 8 + |
x − 8) |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 8 + x − 8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x(x + 8 − (x − 8)) |
|
|
|
|
|
|
|
x(x + 8 − x + 8) |
|
|
|
|
16x |
|
|
|
|
∞ |
|
|||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
= |
||||||||
|
x + 8 + |
x − 8 |
|
|
|
x + 8 + |
|
|
x − 8 |
|
x + 8 + |
|
|
||||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
x→+∞ |
|
|
|
x→+∞ |
x − 8 |
|
∞ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
16 |
= +∞. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→+∞ |
|
+ |
|
+ |
|
− |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 1.6.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислить |
lim |
(1− x)2 − (1+ x)2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(1− x)2 − (1+ x)2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1− 2x + x2 − (1+ 2x + x2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||
2x2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1− 2x + x2 |
−1− 2x − x2 |
= lim |
−4x |
= lim |
−4x |
= lim |
−4 |
= − |
4 |
. |
||
2x2 |
+ 3x |
|
+ 3x |
|
|
|
3 |
||||||
x→0 |
x→0 2x2 |
x→0 x(2x + 3) |
x→0 2x + 3 |
|
|
Пример 1.6.12
Вычислить lim x2 − 4 .
x→2 x3 − 8
Решение
Неопределенность вида 0 . Разложим числитель и знаменатель на
0
множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
x2 |
− 4 |
= lim |
(x − 2)(x + 2) |
= lim |
|
x + 2 |
= |
|
2 + 2 |
= |
|
4 |
= |
1 |
. |
|
|
− 8 |
|
+ 2x + 4) |
|
+ 2x + 4 |
|
+ 4 + 4 |
12 |
|
||||||||
x→2 x3 |
x→2 (x − 2)(x2 |
x→2 x2 |
4 |
|
|
3 |
56
Пример 1.6.13
Вычислить lim |
|
x3 + x − 2 |
|
. |
|
− x2 − x + 1 |
|||
x→1 x3 |
|
Решение
Неопределенность вида 0 . Разложим числитель и знаменатель на
0
множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− x3 + x − 2 |
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
x3 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
− x + 1 |
|
x − 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
+ x + 2. |
x3 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 1. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
− x 2 + x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− x + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− 2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
x3 + x − 2 |
|
= lim |
(x − 1) |
(x2 + x + 2) |
= lim |
x2 + x + 2 |
= |
3 |
|
= ∞. |
|||||||||||||||||||||
|
− x2 − x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→1 x3 |
|
|
x→1 |
|
(x − 1)(x2 − 1) |
|
|
x→1 |
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||
Пример 1.6.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить lim |
|
x + 2 |
|
+ |
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
− 5x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→1 x2 |
4 3(x2 |
− 3x + 2) |
|
|
|
|
|
|
Решение
Неопределенность вида ∞ – ∞. Разложим многочлены, стоящие в знаменателях на множители, а затем приведем дроби к общему зна- менателю:
|
x + 2 |
|
x − 4 |
|
|
(x + 2) |
|
(x − 4) |
|
|
|
lim |
|
|
+ |
|
|
= lim |
|
+ |
|
|
= |
|
− 5x + 4 |
|
|
|
|||||||
x→1 x2 |
|
3(x2 − 3x + 2) |
x→1 (x −1)(x − 4) |
|
3(x −1)(x − 2) |
|
= lim |
3(x2 − 4) + x2 − 8x + 16 |
= lim |
4x2 − 8x + 4 |
||
|
|
|
. |
||
3(x − 1)(x − 2)(x − 4) |
3(x − 1)(x − |
|
|||
x→1 |
x→1 |
2)(x − 4) |
Разложим на множители:
57
lim |
4(x − 1)2 |
= lim |
4(x − 1) |
= |
0 |
= 0. |
3(x − 1)(x − 2)(x − 4) |
|
3(−1)(−3) |
||||
x→1 |
x→1 3(x − 2)(x − 4) |
|
|
Пример 1.6.15 |
|
|
Вычислить lim |
x − b − a − b |
. |
|
||
x→a |
x2 − a2 |
|
Решение |
|
|
Неопределенность вида 0 . Умножим числитель и знаменатель на
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a − b ): |
|
||||||
выражение, сопряженное к числителю, т.е. на ( |
x − b + |
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
x − b − |
a − b |
|
= lim |
( |
x − b − |
|
a − b )( x − b − a − b ) |
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→a |
|
x |
2 |
− a |
2 |
|
|
|
x→a |
(x |
2 |
− a |
2 |
)( x − b + a − b ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
x − b − (a − b) |
|
= lim |
|
|
|
|
x − b − a + b |
|
|
= |
||||||||||||||
(x2 − a2 )( |
|
|
− b + a − b ) |
(x2 − a2 )( |
x − b + |
a − b ) |
||||||||||||||||||||||
x→a |
x |
|
|
x |
→a |
|
|
|||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a − b ) |
|
|
|
|
a − b ) |
|||||||||||
x→a (x − a)(x + a)( |
x − b + |
|
|
x→a (x + a)( |
x − b + |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 2 a − b |
4a a − b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 1.6.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить lim |
|
x − 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x→64 3 x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Неопределенность вида 0 . Умножим числитель и знаменатель на
0
выражение, сопряженное к числителю, т.е. на (
lim |
x − 8 |
= lim |
( x − 8)( |
x + 8) |
= lim |
|
x − 64 |
. |
3 x − 4 |
|
|
|
x + 8)(3 x − 4) |
||||
x→64 |
x→64 (3 x − 4)( |
x + 8) x→64 ( |
|
58
Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к |
||||||||||||||||||
знаменателю, т.е. на (3 x2 + 43 x + 16) |
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
x − 64 |
|
= lim |
|
|
(x − 64)(3 x2 + 43 |
x + 16) |
= |
|
||||||||
|
x + 8)(3 x − 4) |
|
|
x + 8)(3 x − 4)(3 x2 |
+ 43 x + 16) |
|
||||||||||||
x→64 ( |
|
x→64 ( |
|
|
||||||||||||||
|
(x − 64)(3 x2 + 43 |
x + 16) |
3 |
x2 + 43 x + 16 |
|
16 + 16 + 16 |
|
|||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|
|
|
= 3. |
|
|
( x + 8)(x − 64) |
|
x + 8 |
|
8 + 8 |
|
||||||||||||
x→64 |
x→64 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1.6.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x + 1 3x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислить lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x→∞ x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Неопределенность вида 1∞. Для того чтобы раскрыть эту неопре- деленность представим основание в виде 1 + α(x), а в показателе вы- делим множитель 1/α(x):
x + 1 |
3x−1 |
|
|
x + 1 |
3x−1 |
|
|
x + 1− x − 3 3x−1 |
|||||
lim |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
− 1 |
= lim 1 |
+ |
|
|
= |
|
x + 3 |
|
|||||||||||
x→∞ x + 3 |
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
x + 3 |
|
|
|
|
−2 x−3 |
|
|
||||
|
|
−2 |
(3x−1) |
|
|
|
|
|
(3x−1)(−2) |
|
x−3 |
−2 |
|||||||
|
|
|
|||||||
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
= lim e x−3 |
|||
x − 3 |
|
|
|||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
Пример 1.6.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить |
lim |
|
|
|
x − 2 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
→2+0 3 x2 − 4 |
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x − 2 |
|
= |
0 |
|
= lim |
x − 2 |
|||
|
|
|
|
|||||||
x→2+0 3 x2 − 4 |
0 |
x→2+0 3 x − 2 3 x + 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
−6 |
|||
|
2−6x |
|
lim |
x |
|
|||
lim |
|
x→∞ 1− |
3 |
|
|
|||
= ex→∞ x−3 = e |
|
|
|
x = e−6 . |
|
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
= |
lim |
(x − 2) |
2 3 |
= |
|||
|
2 |
|
|
||||
|
x→2+0 3 x + |
|
|
|
= |
lim |
(x − 2) |
6 |
|
= |
0 |
= 0. |
|
|
3 4 |
|||||
|
x→2+0 3 x + 2 |
|
|
|
59
Пример 1.6.19
3 |
x + 2 − 3 2 − x |
||
Вычислить lim |
|
|
. |
|
|
||
x→0 |
27 x |
||
Решение |
|
|
Неопределенность вида 0 . Умножим числитель и знаменатель на вы-
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ражение, сопряженное к числителю, т.е. |
на 3 (x + 2)2 + 3 x + 2 3 2 − x + |
|||||||||||||||||||||||||
+ 3 (2 − x)2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x + 2 − 3 2 − x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(3 x + 2 − 3 |
|
|
|
|
x + 2 ) |
2 |
+ 3 x |
+ 2 3 2 − x + (3 2 − x ) |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
2 − x ) (3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
(3 |
x + 2 ) |
2 |
|
|
|
|
|
− x + (3 |
2 − x ) |
2 |
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
2 |
7 x |
+ 3 x |
+ 2 3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
(3 x + 2 )3 − (3 2 − x )3 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(3 |
x + 2 ) |
2 |
|
|
|
|
|
− x + (3 |
2 − x ) |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
2 |
7 x |
+ 3 x |
+ 2 3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2) − (2 − x) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(3 |
x + 2 ) |
2 |
|
|
|
|
|
− x + (3 |
2 − x ) |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
2 |
7 x |
+ 3 x |
+ 2 3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(3 |
x + 2 ) |
2 |
|
|
|
|
|
− x + (3 |
2 − x ) |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
2 |
7 x |
+ 3 x |
+ 2 3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7 |
|
|
|
|
= |
0 |
|
= 0. |
|
|
|
||||
(3 x + 2 )2 + 3 x + 2 3 2 − x + ( |
3 2 − x )2 |
33 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 1.6.20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислить lim |
sin(5x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60