2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Заметим, если отношение

f ′(x)

, в свою очередь, при x → a пред-

g′(x)

ставляет собой неопределенность вида

0

или

∞

, то правило Лопи-

∞

0

f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +

f ′′(a)

(x − a)2 +

f ′′′(a)

(x − a)3 +

2!

3!

+ ... +

f (n) (a)

(x − a)n +

f (n+1) (ξ)

(x − a)n+1,

n!

(n + 1)!

где R

( f , x) =

f (n+1) (ξ)

(x − a)n+1

– остаточный член в форме Лагранжа;

n

(n + 1)!

f (x) = f (0) + f ′(0)x +

f ′′(0)

2

+

f ′′′(0)

3

+ ... +

f (n) (0)

n

+

f (n+1) (ξ)

n+1

,

x

x

x

x

2!

3!

n!

(n + 1)!

Последнее слагаемое

R ( f , x) = o(x − a)n

называется остаточным

n

членом в форме Пеано.

Разложение основных элементарных по формуле Маклорена

x2

x3

xn

n

xk

1. ex = 1+ x +

+

+ …+

+ o(xn ) = ∑

+ o(xn );

2!

3!

n!

k!

k =0

x

3

x

5

(−1)

n

x

2n+1

n

(−1)

k

x

2k+1

2. sin x = x −

+

+ …+

+ o(x2n+2 ) = ∑

+ o(x2n+2 );

(2n + 1)!

3!

5!

k=0

(2k + 1)!

x

2

x

4

(−1)

n

x

2n

n

(−1)

k

x

2k

3. cos x = 1−

+

+ …+

+ o(x2n+1 ) = ∑

+ o(x2n+1 );

2!

4!

(2n)!

k =0

(2k)!

x

3

x

5

x

2n+1

n

x

2k +1

4. sh x = x +

+

+ …+

+ o(x2n+ 2 ) = ∑

+ o(x2n+ 2 );

(2n + 1)!

3!

5!

k =0 (2k + 1)!

x

2

x

4

x

2n

n

x

2k

5. ch x = 1+

+

+ …+

+ o(x2n+1 ) = ∑

+ o(x2n+1);

2!

4!

(2n)!

k =0

(2k)!

x2

x3

(−1)n−1 xn

n

n

(−1)k −1 xk

n

6. ln(1+ x) = x −

+

+ …+

+ o(x

) = ∑

+ o(x

);

2

3

n

k

k =1

x

3

5

(−1)

n

x

2n+1

n

(−1)

k

x

2k+1

7. arctg x = x −

+

x

+ …+

+ o(x2n+2 ) = ∑

+ o(x2n+2 );

3 5

2n +1

k=0

2k +1

8. arcsin x = x +

x3

+

3x5

+ …+

(2n − 1)!!x2n+1

+ o(x2n+ 2 ) =

6

40

2n n!(2n + 1)

n

(2k − 1)!!x

2k +1

2n+ 2

= x + ∑

+ o(x

);

2k k!(2k + 1)

k =1

9. (1+ x)α = 1+ αx +

α(α − 1)x2

+ …+

α(α − 1) …(α − n + 1)xn

+ o(xn ) =

2!

n!

n α(α − 1) …(α − k + 1)xk

n

= 1+ ∑

+ o(x

).

k!

k =1

1

n

= 1− x + x2 + …+ (−1)n xn + o(xn ) = ∑(−1)k xk + o(xn );

1+ x

k =0

1

n

= 1+ x + x2 + …+ xn + o(xn ) = ∑xk + o(xn ).

1− x

k =0

Пример 2.5.1

2log5 (2x − 1)

Вычислить lim

, используя правило Лопиталя.

3 x

x→+∞

Решение

(2log5 (2x −1))′

2

1

(2x

−

1)′

2log5 (2x

−1)

∞

(2x −1)ln5

lim

=

= lim

(3

x)′

= lim

=

3 x

∞

1

x→+∞

x→+∞

x→+∞

3

x

2

2 2

4 2

∞

=

lim

(2x − 1)ln 5

=

lim

x

=

8

lim

x

=

=

3

x→+∞

x

→+∞ 3(2x −

1)ln 5

3ln 5 x→+∞

2x − 1

∞

2

x

′

1

8

(

x

)

8

8

1

=

1

= 0.

=

lim

=

lim

2

x

=

lim

3ln 5 x→+∞ (2x − 1)′

3ln 5 x→+∞

2

3ln 5 x→+∞ 4 x

∞

e2 x

∞

(e2 x )′

lim

=

=

lim

=

x→+∞ 2x4

+ 3x3 − x2 + 8x − 1

∞

x→+∞ (2x4 + 3x3 − x2 + 8x − 1)′

2e2x

∞

(2e2 x )′

=

lim

=

=

lim

=

x→+∞ 8x3

+ 9x2 − 2x + 8

∞

x→+∞ (8x3 + 9x2 − 2x + 8)′

4e2x

∞

(4e2x )′

8e2x

∞

= lim

=

= lim

= lim

=

=

x→+∞ 24x2

+18x − 2

∞

x→+∞ (24x2 +18x − 2)′

x→+∞ 48x +18

∞

(8e2 x )′

16e2x

+∞

= lim

=

lim

=

= +∞.

x→+∞ (48x + 18)′

x→+∞

48

48

Пример 2.5.3

Вычислить

ln2 x

используя правило Лопиталя.

lim