2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb
.pdfY
y = f(x) + c
y = f(x)
X
Рис. 1.27
2. График функции y = f(x + a) получается из графика функции y = f(x) параллельным переносом вдоль оси OX (рис 1.28). Если a > 0, то график переносится вдоль оси абсцисс влево на расстояние a, а
если a < 0, то вправо на расстояние a .
Y
y = f(x)
y = f(x + a)
X
Рис. 1.28
3. График функции y = f(–x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси OY (рис. 1.29).
Y
y = f(x)
y = f(−x)
X
Рис. 1.29
21
4. График функции y = –f(x) получается из графика функции y = f(x) зеркальным отражением относительно оси OX (рис. 1.30).
Y
y = f(x)
X
y = − f(x)
Рис. 1.30
5.График функции y = af(x), где а > 0, получается из графика функции y = f(x) сжатием или растяжением вдоль оси OY. Если a > 1, то происходит растяжение в a раз, а если 0 < a < 1, то сжатие в 1/a раз вдоль оси ординат.
6.График функции y = f(bx), где b > 0, получается из графика функции y = f(x) сжатием или растяжением вдоль оси OX. Если b > 1, то происходит сжатие в b раз, а если 0 < b < 1, то растяжение в 1/b раз вдоль оси абсцисс.
7.График функции y = │f(x)│ получается, если часть графика функции y = f(x), расположенную ниже оси OX, симметрично отобра- зить относительно этой оси, а часть графика, расположенную выше оси OX, оставить без изменений.
8.График функции y = f( x ) получается, если стереть часть графика
функции y = f(x), расположенную слева от оси OY, оставить часть гра- фика функции y = f(x), лежащую справа от оси OY, а затем в область x < 0 симметрично относительно оси OY отобразить область x ≥ 0.
Пример 1.3.1
Построить график функции y = – log2(x – 1).
Решение
1. Построим график функции y = log2 x (рис. 1.31). Так как a = 2 > 1, то функция возрастающая.
22
Y
y = log2 x
y = log2 (x − 1)
O |
1 2 |
X |
y = −log2 (x − 1)
Рис. 1.31
2.Сдвигаем график функции y = log2 x на 1 единицу вправо вдоль оси OX; получаем график функции y = log2(x − 1) (см. рис. 1.31).
3.Отображаем его зеркально относительно оси OX; получаем гра- фик искомой функции (см. рис. 1.31).
Пример 1.3.2
Построить график функции |
y = |
|
1 2x+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Преобразуем функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 2x+1 |
1 2 x |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 x |
|
1 |
1 x |
|||||||||||
y = |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Построим график функции |
y = |
|
|
|
|
|
(рис. 1.32). Так как a = 1/4 < 1, |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то функция убывающая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|||||||
3. Сжимаем график функции |
y = |
|
|
|
вдоль оси OY в два раза; |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
получаем график искомой функции (см. рис. 1.32).
23
Y
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2x+1 |
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
X |
|
|
Рис. 1.32 |
|
|
|
Пример 1.3.3
Построить график функции y =│–x2 + x│– 2.
Решение
Первый способ
1. Раскроем модуль:
|
2 |
+ x − 2 , если − x |
2 |
+ x ≥ 0, |
|
− x |
|
|
|||
y = |
− x − 2, если |
− x2 + x < 0. |
|||
x2 |
2. Методом интервалов решим неравенство:
–x2 + x ≥ 0;
–x(x −1) ≥ 0.
Отметим на числовой прямой точки, в которых данное выражение обращается в ноль, и определим знаки получившихся интервалов:
– |
+ |
– |
|
0 |
1 |
Тогда
–x2 + x ≥ 0, если x [0, 1].
24
Значит, |
|
|
|
2 |
+ x − 2 , если x [0, 1], |
− x |
|
|
y = |
− x − 2, если x ( − ∞; 0) (1, ∞). |
|
x2 |
3. Построим график функции y = – x2 + x – 2 на отрезке [0, 1]. Графиком данной функции является парабола, ветви которой на- правлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
x = − |
|
b |
|
|
= |
−1 |
= |
1 |
; y |
= − |
|
1 2 |
+ |
1 |
− 2 = − |
7 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b |
|
2а |
|
−2 2 |
b |
|
|
2 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
Тогда точка |
1 |
,− |
7 |
|
– вершина параболы. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем точки пересечения графика с осью ОХ:
– х2 + х – 2 = 0;
х2 – х + 2 = 0;
D = 1 – 4 2 = – 7 < 0 .
Следовательно, данное уравнение не имеет корней, а значит, па- рабола ось ОХ не пересекает. Заметим, что y(0) = y(1) = −2.
4. Построим график функции у = х2 – х – 2 на интервалах (−∞, 0) и (1, ∞). Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
x = |
1 |
; y = |
1 |
− |
1 |
− 2 = − |
9 |
. |
|
|
|
|
|||||
b |
2 |
b |
4 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
1 |
, − |
9 |
− вершина параболы. |
|
Тогда точка |
|
|
|
||
|
|
||||
|
2 |
|
4 |
|
Найдем точки пересечения с осью OX:
x2 – x – 2 = 0; D = 1 + 8 = 9; x1,2 = 1± 3 ; x1 = 2; x2 = – 1.
2
5. Получили график функции y =│–x2 + x│– 2 (рис. 1.33).
25
Y
−1 |
2 |
X |
−2
Рис. 1.33.
Второй способ
1. Графиком функции y = – x2 + x является парабола, ветви кото- рой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
|
|
|
|
|
x = − |
b |
= |
−1 |
= |
1 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
2a |
|
|
−2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
yb |
= − |
1 |
2 |
+ |
1 |
= − |
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
2 4 |
|
||||||
Тогда точка |
1 |
, |
1 |
|
– вершина параболы. |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем точки пересечения с осью OX: y = 0 – x2 + x = 0;
–x (x – 1) = 0;
x= 0 или x = 1;
Получили точки пересечения с осью ОХ: (0, 0), (1, 0). Построим график функции (рис. 1.34).
26
Y
1/4
1/2 1 |
X |
Рис. 1.34
2. Построим график функции y = │– x2 + x│. Для этого часть гра- фика, которая лежит ниже оси OX, отобразим зеркально относитель- но оси OX (рис. 1.35).
Y
1 X
Рис. 1.35
3. Построим график функции y = │– x2 + x│ – 2. Для этого график функции y = │–x2 + x│ сдвинем на две единицы вниз (рис. 1.36).
Y
−1 |
2 |
X |
−2
Рис. 1.36
27
Пример 1.3.4 |
|
|
Построить график функции y = |
− x − 2 . |
|
Решение |
|
|
1. Построим график функции y = |
x (рис. 1.37). |
|
|
Y |
|
y = −x |
|
y = x |
|
|
|
y = −x − 2 |
|
|
−2 |
O |
X |
|
Рис. 1.37 |
|
2. |
Построим график функции y = |
− x . Для этого график функции |
y = |
x отобразим зеркально относительно оси OY (см. рис. 1.37). |
|
3. |
Построим график функции |
y = − x − 2 . Для этого график |
функции y = − x сдвинем на две единицы влево вдоль оси OX. По- лучили искомый график (см. рис. 1.3.11).
1.4. Сведения из элементарной математики
Действия с многочленами
Разложение многочленов на множители
Многочлен вида anxn + an–1xn–1 … + a0 можно разложить на множи- тели по формуле
anxn + an–1xn–1 + … + a0 = an(x – x1) (x – x2) … (x – xk)Qn – k(x)
где x1, x2, …, xk – корни этого многочлена.
28
Деление многочленов
1. Дробь вида a + b + c можно разложить на сумму дробей по формуле x
a + b + c = a + b + c . x x x x
2. Деление многочлена на многочлен можно выполнить с остат- ком подобно тому, как это делается при делении целых чисел.
При делении многочлена на многочлен делят старший член мно- гочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, а затем частное от этого деления умножают на многочлен-делитель и это произведение вычитают из многочлена-делимого. Затем повторяют то же самое до тех пор, пока деление не закончится или степень ос- татка не станет меньше степени многочлена-делителя.
Пример 1.4.1
Разделить многочлен 2x3 – 3x + 1 + 3x2 на многочлен x + 2.
Решение
1. Записываем оба многочлена по убыванию степеней:
2x3 + 3x2 − 3x + 1 x + 2.
2. Делим первый член делимого 2x3 на первый член делителя х:
2x3 + 3x2 − 3x + 1 x + 2 2x2 .
Результат 2х2 – есть первый член частного.
3. Умножаем полученный член 2х2 на делитель х + 2, результат записываем под делимым:
− |
2x3 |
+ 3x2 |
− 3x + 1 |
|
x + 2 |
|
|||||
2x3 |
+ 4x2 |
|
|
2x2 . |
|
|
|
|
4. Вычитаем члены результата из соответствующих членов дели- мого, сносим следующий по порядку член делимого:
− |
2x3 |
+ 3x2 |
− 3x + 1 |
|
x + 2 |
|
|||||
2x3 |
+ 4x2 |
|
|
2x2 . |
|
|
|
|
− x 2 −3x + 1
29
5. Делим получившийся первый член –х2 на первый член делителя х:
− |
2x3 |
+ 3x2 |
− 3x + 1 |
|
x + 2 |
|
|||||
2x3 |
+ 4x2 |
|
|
2x2 − x. |
|
|
|
|
− x 2 −3x + 1
Результат –х есть второй член частного.
6. Умножаем полученный член –х на делитель х + 2, результат запи- сываем под делимым. Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого, сносим следующий по порядку член делимого:
− |
2x3 |
+ 3x2 |
− 3x + 1 |
|
x + 2 |
|
|||||
2x3 |
+ 4x2 |
|
|
2x2 − x. |
|
|
|
|
−− x 2 −3x + 1
−x2 − 2x
−x + 1
7.Делим получившийся первый член –х на первый член делителя х:
− |
2x3 |
+ 3x2 − 3x + 1 |
|
x + 2 |
|
||||
2x3 |
+ 4x2 |
|
2x2 − x − 1. |
|
|
|
−− x 2 −3x + 1
−x2 − 2x
−− x + 1
−x − 2
3
Результат –1 – есть третий член частного. Затем проделаем те же действия, что и в первых двух случаях.
Получили остаток 3. Степень его меньше степени делителя. Деле- ние закончено. Следовательно,
2x3 + 3x2 − 3x + 1 |
= 2x |
2 |
− x − 1 |
+ |
3 |
. |
|
x + 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x + 2 |
30