2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Пример 1.4.2

Разделить многочлен 2х4 + х3 – 10х2 – 7х + 2 на многочлен х2 + 3х + 2.

Решение

0

т.е. 2x4 + x3 − 10x2 − 7x + 2 = 2x2 − 5x + 1. x2 + 3x + 2

Пример 1.4.3

Разделить многочлен –х4 + х3 + 2х2 + 3х – 1 на многочлен x2 + 3x – 1.

Решение

т.е. −x2 + 4x – 11 − целая часть, 40x – 12 – остаток. Тогда

31

Пример 1.4.4

Разложить на множители многочлены:

а) (– х + 1)2 – (2х + 3)2; б) (– х + 1)3 + (2х + 3)3.

Решение

а) (– х + 1)2 – (2х + 3)2 = (– х + 1 – 2х – 3)(– х + 1 + 2x + 3) = (– 3х – 2)(х + 4).

б) (– х + 1)3 + (2х + 3)3 = (– х + 1 + 2х + 3)((– х + 1)2 – (– х + 1)(2х + 3) + + (2х + 3)2) = (х + 4)(х2 – 2х + 1 – (– 2х2 + 2х – 3х + 3) + 4х2 + 12х + 9) =

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Для решения неравенств вида

A(x) > C(x)

B(x) D(x)

применяют метод интервалов, который заключается в следующем:

1) перенесем C(x) в правую часть и приведем получившееся вы-

D(x)

ражение к общему знаменателю:

A(x) − C(x) >

0;

B(x) D(x)

A(x) D(x) − C(x) B(x) >

0;

B(x) D(x)

2) найдем нули числителя и знаменателя:

A(x) D(x) – C(x) B(x) = 0;

B(x) D(x) = 0;

3) пусть х1, х2, …, хn – нули числителя и нули знаменателя, при- чем х1 < x2 < … < xn. Расставим эти точки на координатной оси и отметим знаки получившихся интервалов. Для того чтобы опреде- лить знак интервала, берем любое число из этого интервала и под- ставляем его в исходное неравенство. Затем выбираем промежутки с нужным знаком.

32

Пример 1.4.5

Решение

1. Найдем нули числителя:

х2(х – 4)(х – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей ра- вен нулю: х = 0 или х = 4 или х = 1.

2. Найдем нули знаменателя:

(х + 4)5(х – 3)4 = 0,

т.е. х = – 4 или х = 3.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и зна- менатель обращаются в ноль, и определим знаки получившихся ин- тервалов:

В интервале (4, +∞) возьмем число 5, подставим его в исходное неравенство и определим знак неравенства:

++

т.е. на интервале (4, +∞) данное выражение имеет знак «+».

Заметим, что при переходе через точку 0, которая является корнем числителя кратности 2, и через точку 3, которая является корнем зна- менателя кратности 4, знак неравенства не меняется. Остальные точки являются корнями числителя или знаменателя нечетной кратности, поэтому при переходе через эти точки знак неравенства меняется на противоположный. Следовательно, х (–∞; –4) [1, 3) (3, 4].

Пример 1.4.6

Решить неравенства:

33

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и нули знаменателя:

(1 – x)(х + 1)2 = 0,

т.е. х1 = 1 и х2 = –1 – нули числителя; (х + 2)2 (х – 3) = 0,

т.е. х3 = – 2 и х4 = 3 – нули знаменателя.

Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель и зна- менатель обращаются в ноль, и определим знаки получившихся ин- тервалов:

Следовательно, x (−2,1] (3, ∞) .

1.5. Предел последовательности

Последовательностью действительных чисел называется числовая функция an: N → R, определенная на множестве всех натуральных чи- сел. Аргумент этой функции обозначается n, а сама функция − an. Та- ким образом, числовая последовательность задана, если указан за- кон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответ- ствие определенное число an. Числа a1, a2, …, an называются членами последовательности. Принято обозначать последовательность сим-

волом {an} или {an }∞= .

n 1

Последовательность {an} называется ограниченной снизу, если су- ществует число m такое, что an ≥ m для любого натурального числа n.

34

Последовательность {an} называется ограниченной сверху, если су- ществует число M такое, что an ≤ M для любого натурального числа n.

Последовательность {an} называется возрастающей, если для лю- бого натурального числа n выполнено неравенство an + 1 > an.

Последовательность {an} называется убывающей, если для любого натурального числа n выполнено неравенство an + 1 < an.

Последовательность {an} называется неубывающей, если для лю- бого натурального числа n выполнено неравенство an + 1 ≥ an.

Последовательность {an} называется невозрастающей, если для любого натурального числа n выполнено неравенство an + 1 ≤ an.

Последовательность {an} называется монотонной, если она воз- растающая, убывающая, невозрастающая или неубывающая.

Последовательность {an} называется ограниченной, если сущест- вуют такие числа m и M, что m ≤ an ≤ M для любого натурального числа n.

Предел последовательности

Число А называется пределом последовательности {an}, если для любого положительного числа ε существует такое натуральное число N(ε) (зависящее от ε), что при всех n ≥ N(ε) выполняется неравенство

an − A < ε.

Обозначение: lim an = A или an → A при n → ∞.

n→∞

С помощью логических символов определение предела последо- вательности записывается следующим образом:

lim an = A ε > 0 N (ε) : n > N (ε) an − A < ε.

n→∞

Последовательность {an} называется сходящейся, если она имеет конечный предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Определение предела последовательности можно сформулировать следующим образом: число А называется пределом последователь- ности {an}, если в любую ε-окрестность числа A попадают все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа их.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Последовательность {bn} называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа Е существует такое нату- ральное число N(Е), что при всех n ≥ N(Е) выполняется неравенство

bn > E.

35

Или с помощью логических символов:

lim bn = ∞ Е > 0 N (E) : n > N (E) bn > E.

n→∞

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε существует такое натуральное число N(ε) (зависящее от ε), что при всех n ≥ N(ε) выполняется неравенство

αn < ε.

Или с помощью логических символов:

lim αn = 0 ε > 0 N (ε) : n > N (ε) αn < ε.

n→∞

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

1.Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью.

2.Сумма конечного числа бесконечно малых последовательно- стей также является бесконечно малой последовательностью.

3.Произведение бесконечно малой последовательности на огра- ниченную последовательность является бесконечно малой.

4.Числовая последовательность {αn}, где αn ≠ 0 для любого нату- рального числа n, является бесконечно малой тогда и только тогда, когда последовательность {1/αn} бесконечно большая.

Основные теоремы о сходящихся последовательностях

1.Последовательность не может иметь двух различных пределов.

2.Если числовая последовательность имеет предел, то она ограничена.

3.Если последовательности {an} и {bn} сходятся, то сходятся и последовательности {an ± bn}; {an · bn}, причем

Кроме того, если bn ≠ 0 для любого натурального числа n и

36

4. Если все члены последовательности равны одному и тому же

числу C (an = С), то lim an = C.

n→∞

5. Если существует lim an , то для любого действительного числа С

n→∞

6. Если для последовательностей {an}, {bn} и {cn}, начиная с некоторо-

го номера, выполняется неравенство cn ≤ an ≤ bn и lim cn = lim bn = A , то

n→∞ n→∞

lim an = A .

n→∞

7. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет

чена сверху, а значит, по теореме Вейерштрасса сходится. Ее преде- лом является иррациональное число e = 2,718281828…, которое яв- ляется основанием натурального логарифма.

37

Разделим числитель и знаменатель на n в наибольшей степени, т.е. на n4:

Решение

Разделим числитель и знаменатель на n в наибольшей степени, т.е. на n3:

Решение

Разделим числитель и знаменатель на n в наибольшей степени, т.е. на n5:

38

Решение

Разделим числитель и знаменатель на n в наибольшей степени. Степень числителя равна 8/4 = 2, степень знаменателя равна 1 + 2/2 = 2, а значит, делим на n2: