2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Пример 2.4.1

Найти первую производную функции xcos(πy) − ysin(πx) = x − 1

Решение

Данная функция задано неявно. Продифференцируем тождество xcos(πy) − ysin(πx) = x − 1 по переменной x, имея в виду, что y есть функция от х:

x′ cos(πy) + x(cos(πy))′ − y′sin(πx) − y(sin(πx))′ = (x − 1)′;

cos(πy) + x(− sin(πy))πy′ − y′sin(πx) − y cos(πx)π = 1.

Выразим из получившегося тождества y ′:

Пример 2.4.2

Найти первую и вторую производные функции x + y = ex − y.

Решение

Данная функция задано неявно. Продифференцируем тождество x + y = ex − y по переменной x, имея в виду, что y есть функция от x:

x′ + y′ = (ex− y )′; 1+ y′ = ex− y (x − y)′; 1+ y′ = ex− y (1− y′).

121

Выразим из получившегося тождества y′: y′ + ex− y y′ = ex− y − 1;

y′(1+ ex− y ) = ex− y − 1;

y′ = ex− y − 1.

ex− y + 1

Найдем вторую производную, продифференцировав получившее- ся равенство по переменной x, имея в виду, что y есть функция от x:

122

Пример 2.4.3

Написать уравнение касательной и уравнение нормали к линии

Разделим получившееся тождество на ln2 и подставим вместо x и y координаты точки М(2, 1):

4(1− 2y′) + 2y′ − 1 = 0;

4 − 8y′ + 2y′ − 1 = 0;

3 = 6 y′.

123

Тогда производная функции в точке М

y′(M ) = 1 . 2

Уравнение касательной:

y = 1+ 1 (x − 2); 2

y = 1 x. 2

Уравнение нормали:

1 ( y − 1) + x − 2 = 0; 2

y− 1+ 2x − 4 = 0; y + 2x = 5.

Итак, y = 1 x − уравнение касательной, а y + 2x = 5 − уравнение

2

нормали в точке М(2, 1).

Пример 2.4.4

Найти первую и вторую производные функции, заданной пара- метрически:

Решение

Найдем первую производную функции, заданной параметрически, по формуле

y′ = yt′ .

x xt′

Найдем производные функций x(t) и y(t) по переменной t, приме- нив формулу для нахождения производной произведения:

124

xt′ = (et )′(cost + sint) + et (cost + sint)′ = et (cost + sint) + et (− sint + cost) = = et (cost + sin t − sin t + cost) = 2et cost;

yt′ = (et )′(cost − sin t) + et (cost − sint)′ = et (cost − sint) + et (− sint − cost) = = et (cost − sin t − sin t − cost) = −2et sin t.

Тогда

Вторую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле

Пример 2.4.5

Найти первую и вторую производные функции, заданной пара- метрически:

x = t2 ,

y = ln sin t − t ctg t.

125

Решение

Первую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле

y′ = yt′ .

x xt′

Найдем производные функций x(t) и y(t) по переменной t, приме- нив для функции y(t) правило дифференцирования сложной функции и формулу производной произведения:

Вторую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле

126

Таким образом,

Пример 2.4.6

Написать уравнение касательной и уравнение нормали к кривой

x = sin2 t,

в точке, соответствующей значению параметра t = π/6.

y = cos2 t

Решение

Уравнение касательной:

y = f(x0) + f '(x0)(x – x0).

Уравнение нормали:

(x – x0) + f '(x0)(y – f(x0)) = 0.

Найдем значение функции x(t) при t = π/6:

x(π / 6) = sin2 (π / 6) = (1/ 2)2 = 1/ 4.

Следовательно, x0 = 1/4.

Найдем значение функции y(t) при t = π/6:

y(π / 6) = cos2 (π / 6) = ( 3 / 2)2 = 3/ 4.

Следовательно, y0 = f(x0) = 3/4.

Вычислим производную функции по формуле

y′ = yt′ .

x xt′

Для этого найдем производные функций x(t) и y(t) по переменной t: xt′ = 2sin t cost;

yt′ = 2cost(− sin t).

127

Тогда

Следовательно,

x − y + 1 = 0. 2

Итак, y = −x + 1 − уравнение касательной, 2x – 2y + 1 = 0 − урав- нение нормали в точке М(2, 1).

2.5.Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора

Теорема Ролля

Если функция f(x):

1)непрерывна на отрезке [a, b];

2)дифференцируема на интервале (a, b);

3)на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) = f(b), то на интервале (a, b) существует, по крайней мере, одна точка ξ, в которой производная данной функции равна нулю, т.е.

ξ (a,b) : f ′(ξ) = 0.

128

Все условия теоремы Ролля существенны. При нарушении хотя бы одного из этих условий утверждение теоремы может оказаться

неверным. Например, непрерывная функция y = x на концах отрез-

ка [−1, 1] имеет равные значения (y(−1) = y(1) = 1), вместе с тем ее производная нигде в ноль не обращается. В данном случае не выпол- нено второе условие теоремы Ролля: в точке x = 0, лежащей внутри

интервала (−1, 1), производная функции y = x не существует (было

показано в п. 2.2). Точно так же теорема может быть не верна, если нарушено условие непрерывности функции на отрезке [a, b]. Напри-

отрезка [0, 1] (y(0) = y(1) = 0), дифференцируема на интервале (0, 1), но ее производная во всех точках этого интервала равна 1, и, следо- вательно, нет точки, в которой производная равна нулю. Здесь нару- шено первое условие теоремы, так как функция не является непре- рывной на отрезке [0, 1].

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в следующем: если функция y = f(x) на некотором интервале удовлетворяет услови- ям теоремы Ролля, то на этом интервале найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа

Если функция f(x):

1)непрерывна на отрезке [a, b];

2)дифференцируема на интервале (a, b),

то на интервале (a, b) существует, по крайней мере, одна точка ξ, что

f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a), ξ (a,b).

Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Следствия из теоремы Лагранжа

1.Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ′(x) = 0 для всех x (a, b), то f(x) = c = const на данном интервале.

2.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема

на интервале (a, b) и для всех x (a, b) верно равенство f ′(x) = k = const, то f(x) = kx + c, т.е. функция f(x) − линейная функция.

129

Формула Коши

Если функции f(x) и g(x):

1)непрерывны на отрезке [a, b];

2)дифференцируемы на интервале (a, b), причем g′ (x) ≠ 0 во всех

точках этого интервала,

то на интервале (a, b) существует, по крайней мере, одна точка ξ, что

f (b) − f (a) = f ′(ξ) , ξ (a,b). g(b) − g(a) g′(ξ)

Первое правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проко- лотой окрестности точки а, причем g′ (x) ≠ 0 в этой окрестности. То-

гда, если lim f (x) = lim g(x) = 0 (в этом случае говорят, что при x → a

x→a x→a

нечный или бесконечный), то существует и lim f (x) , причем

x→a g(x)

lim f (x) = lim f ′(x) .

x→a g(x) x→a g′(x)

Второе правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проко- лотой окрестности точки а, причем g′ (x) ≠ 0 в этой окрестности. То-

гда, если lim f (x) = lim g(x) = ∞ (в этом случае говорят, что при x → a

x→a x→a

130