2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Тогда

f(x0 + ∆x) = f(0,998) ≈ f(x0) + f ′(x0)∆x = 1 + 19(−0,002) = 0,962.

Следовательно, 0,99819 ≈ 0,962.

Пример 2.2.4

111

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интер- вале (a, b). Если функция f ′(x) дифференцируема в точке х0 (a, b),

то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке х0 и обозначают f ′′(x0 ), т.е.

f ′′(x0 ) = ( f ′(x0 ))′.

Производная n-го порядка определяется аналогично через произ- водную (n − 1)-го порядка. Пусть функция y = f(x) имеет на интервале (a, b) производные f ′(x) , f ′′(x), …, f (x). Если в точке х0 (a, b)

существует производная функции f (n − 1) (x0), то эту производную на- зывают производной n-го порядка, т.е.

f (n) (x0 ) = ( f (n−1) (x0 ))′, n = 1, 2, ...,

где производная нулевого порядка − это функция f(x).

Множество функций, определенных на интервале (a, b) и имеющих в каждой точке этого интервала непрерывную производную n-го по- рядка обозначается C n (a, b).

Пусть функции u(x) и v(x) имеют в точке x производные n-го по- рядка, тогда функция αu(x) + βv(x) также имеет производную n-го порядка, причем

(αu + βv)(n) = α(u)(n) + β(v)(n) .

Формула Лейбница

Пусть функции u(x) и v(x) имеют в точке x производные n-го по- рядка, тогда функция u(x)v(x) также имеет производную n-го поряд- ка, причем

Легко выводятся следующие формулы для производной n-го порядка:

112

1)(ex )(n) = ex ;

2)(ax )(n) = ax lnn a, a > 0, a ≠ 1;

3)(sh x)(2n) = sh x; (sh x)(2n+1) = ch x;

4)(ch x)(2n) = ch x; (ch x)(2n+1) = sh x;

5)(sin x)(n) = sin x + πn ;

2

6)(cos x)(n) = cos x + πn ;

2

Дифференциал n-го порядка

Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интер- вале (a, b). Дифференциалом второго порядка называется дифферен- циал от функции dy = f ′ (x) dx и обозначается d 2y, т.е.

d 2 y = d (dy).

Аналогично определяется дифференциал n-ого порядка:

d n y = d (d n−1 y).

Для вычисления дифференциала n-го порядка применяется формула

d n y = f (n) (x)dxn .

В частности, для дифференциала второго порядка:

d 2 y = f ′′(x)dx2 .

Из предыдущих формул следует

113

f (n) (x) = d n y ; dxn

f ′′(x) = d 2 y . dx2

Пример 2.3.1

Вычислить вторую производную и второй дифференциал функ- ции y = ln2 x − 4 .

Решение

Найдем первую производную, используя правило дифференциро- вания сложной функции:

Найдем вторую производную, используя формулы нахождения производной частного, производной произведения, а также правило дифференцирования сложной функции:

114

Найдем второй дифференциал по формуле d 2 y = y′′dx2 . Тогда

Пример 2.3.2

Вычислить вторую производную и второй дифференциал функ-

ции y = (cos x)x .

Решение

Найдем первую производную функции по формуле y′ = y(ln y)′. Тогда

= (cos x)x (ln cos x − x tg x).

Найдем вторую производную, применив формулу производной произведения:

y′′ = ((cos x)x (ln cos x − x tg x))′ =

= ((cos x)x )′(ln cos x − x tg x) + (cos x)x (ln cos x − x tg x)′ =

115

Найдем второй дифференциал по формуле d 2 y = y′′dx2 . Тогда

Пример 2.3.3

Найти производную n-го порядка функции y = e1−3x .

Решение

Преобразуем функцию:

1−3x

y = e1−3x = e 2 .

Легко увидеть, что каждая последующая производная будет полу-

Пример 2.3.4

Найти производную n-го порядка функции y = 4x + 2 .

2x + 5

116

Решение

Выделим целую часть:

Найдем первые три производные данной функции и выведем за- кономерность, по которой получается n-я производная:

y′ = (2 − 8(2x + 5)−1 )′ = −8(−1)(2x + 5)−2 (2x + 5)′ = −8(−1)(2x + 5)−2 2. y′′ = (−8(−1)(2x + 5)−2 2)′ = −8(−1)(−2)(2x + 5)−3 22.

y′′′ = −8(−1)(−2)(−3)(2x + 5)−4 23.

Легко заметить, что

y(n) = −8 (−1)(−2)(−3)…(−n)(2x + 5)− n−1 2n.

Следовательно,

y(n) = −8(−1)n n!(2x + 5)− n−1 2n = − 8 2n (−1)n+n!. (2x + 5)n 1

Пример 2.3.5

Найти производную n-го порядка функции y = 1 . x2 − x − 6

Решение

Разложим знаменатель на множители:

x2 − x − 6 = (x + 2)(x − 3).

Разложим дробь на сумму простейших дробей:

Приравняв числители, получим:

1 = A(x – 3) +B(x + 2).

При x = 3 :

1 = 5B B = 1/5;

117

при x = −2 :

1 = −5A A = −1/5.

Тогда

x + c

g′(x) = ((x + c)−1 )′ = −(x + c)−2 ;

g′′(x) = (−(x + c)−2 )′ = −(−2)(x + c)−3 ;

g′′′(x) = (−(−2)(x + c)−3 )′ = −(−2)(−3)(x + c)−4 .

Легко заметить, что

Пример 2.3.6

Найти десятую производную функции y = sh x · (1 −4x + x2).

Решение

Третья производная от функции u = 1 − 4x + x2 равна нулю. Для нахождения десятой производной произведения функций v = sh x и u = 1 −4x + x2 воспользуемся формулой Лейбница, заметив, что все слагаемые в этой формуле, начиная с четвертого, будут равны нулю, так как u(k) = 0 при k ≥ 3:

(uv)(n) = uv(n) + nu′v(n−1) + n(n − 1) u′′v(n−2) + ... + u(n)v. 1 2

Тогда

y(10) = (1− 4x + x2 )(sh x)(10) + 10 (1− 4x + x2 )′(sh x)(9) +

+10 9 (1− 4x + x2 )′′(sh x)(8) . 1 2

118

Так как (sh x) ′ = ch x, а (ch x) ′ = sh x, то четная производная от функции sh x равна той же самой функции sh x, а нечетная производ- ная от этой функции равна функции ch x. Тогда

y(10) = sh x(1− 4x + x2 ) + 10ch x(−4 + 2x) + 90sh x.

Пример 2.3.7.

Найти десятую производную функции y = 5x(2x + 4).

Решение

Вторая производная от функции u = 2x + 4 равна нулю. Для нахо- ждения десятой производной произведения функций v = 5x и u = 2x + 4 воспользуемся формулой Лейбница, заметив, что все слагаемые в этой формуле, начиная с третьего, будут равны нулю, так как u(k) = 0 при k ≥ 2:

119

2.4.Производная функции, заданной неявно

ипараметрически

Функция, заданная неявно

Неявной функцией переменной x называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x и y и не разрешен- ного относительно y. Чтобы перейти к явному заданию функции не- обходимо разрешить данное уравнение относительно y. Такой пере- ход не всегда легок, а иногда и вовсе невозможен.

Пусть дифференцируемая функция y переменной x задана неявно уравнением F(x, y) = 0. Если для каждого значения x из некоторого интервала (a, b) существует единственное значение y, для которого F(x, y(х)) = 0, то говорят, что уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от переменной х.

Тогда производную y′ = dy можно найти, дифференцируя тожде- dx

ство F(x, y) = 0 как сложную функцию. При этом необходимо учесть, что y − это функция переменной x, а затем решить полученное урав- нение относительно y′. Производная функции, заданной неявно, вы- ражается через переменную x и саму функцию y.

Функция, заданная параметрически

x = x(t),

Пусть заданы две функции переменной t:

y = y(t).

Задание этих функций означает задание функциональной зависи- мости между переменными x и y.

Если в некотором интервале (a, b) функции x(t) и y(t) дифферен- цируемы и x ′ (t) ≠ 0, то на интервале (a, b) функция y(x) однозначно определена, дифференцируема и

y′ = yt′ .

x xt′

Тогда

120