Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

.pdf
Скачиваний:
100
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
5.39 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

+

1

 

+

5

 

 

 

 

 

2

+ x + 5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

x

 

x

 

x

2

k = lim

= lim

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

x

x→+∞

x(x + 2) x→+∞

 

 

2

 

 

+

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

b = lim

( f (x) kx) = lim

x2 + x + 5

x =

 

 

x→+∞

 

 

x→+∞

x + 2

 

 

 

=

 

x2

+ x + 5 x2

2x

=

x + 5

= −1.

lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

x + 2

 

+ 2

 

x→+∞

 

 

 

x→+∞ x

 

Следовательно, y = x – 1 – уравнение правой наклонной асимптоты. Найдем левую наклонную асимптоту:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

+

1

 

+

 

5

 

 

 

 

 

 

 

2

+ x + 5

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

x

2

k = lim

 

= lim

 

= − lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→−∞

 

 

x

x→−∞ x(x + 2)

x→−∞

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

b = lim

( f (x) kx) = lim

x2 + x + 5

+ x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

x→+∞

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x2 x 5 + x2 + 2x

=

 

 

 

x 5

= 1.

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

+

2

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

x→+∞ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, y = −x + 1 – уравнение левой наклонной асимптоты. 7. Построим эскиз графика функции (рис. 1.47).

Y

y = 1 − x

y = x − 1

−2

1

X

Рис. 1.47

91

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Производная функции, ее геометрический смысл

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Тогда для любой точки x U(x0) разность x x0 обозначает- ся ∆x и называется приращением аргумента. Соответствующая раз- ность значений функции f(x) – f(x0) обозначается ∆f(x0) и называется

приращением функции. Так как x = x0 + x, то ∆f(x0) = f(x0 + x) – f(x0).

Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отно- шения приращения функции f(x0, x) к соответствующему прира- щению аргумента x, если приращение аргумента стремится к нулю:

f (x ) = lim

f (x0 ,

x)

= lim

f (x0 +

x) f (x0 )

.

 

 

 

 

0

x0

x

 

x0

x

 

 

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график некоторой функции y = f(x), непрерывной на интервале (a, b) (рис. 2.1).

Y

y = f(x)

N

М0

y0

ϕ

O

x0 x0 + x

X

Рис. 2.1

92

равно угловому коэффици-
секущей. Отношение

Пусть точки M0(x0, f(x0)), N(x0 + x, f(x0 + x)) − произвольные точ- ки, лежащие на кривой y = f(x) (a < x0 < b). Прямая M0N называется

f (x0 + x) f (x0 )

x

енту прямой, проходящей через точки M0 и N. Пусть x 0, тогда точка N стремится к точке M0. Если существует производная f (x0),

т.е. существует предел отношения f (x0 + x) f (x0 ) , то секущая M0N x

стремится к прямой, проходящей через точку M0 с угловым коэффи- циентом f (x0). Предельное положение секущей M0N при стремлении N к M0 называется касательной к графику функции y = f(x) в точке M0.

Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэф- фициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

f (x0) = k = tg ϕ.

Тогда y f(x0) = f (x0)(x x0) – уравнение касательной к графику

функции y = f(x) в точке х0.

Нормалью к кривой в точке с абсциссой х0 называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке х0.

Тогда x – x0 + f (x0)(y – f(x0)) = 0 – уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке х0.

Основные правила нахождения производных

Пусть с = const, v = v(x) и u = u(x) – некоторые функции, диффе- ренцируемые в точке x0.

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. (c)= 0;

 

4. (u – v)= u– v;

7. (u v)= uv + u v;

 

2. (x)= 1;

 

5. (c u)= c u;

 

u

uv uv

 

 

 

8.

 

 

 

 

=

 

 

 

,v

0;

 

v

 

v2

 

 

u

u

 

c

 

cv

 

 

 

3. (u + v)

= u+ v; 6.

 

=

 

;

9.

 

 

= −

 

,v 0.

 

c

c

v

v2

 

 

Таблица производных основных функций

 

 

 

1. (ха)= a xa–1;

 

 

4. (sin x)= cos x;

 

 

 

2. (ax)= ax ln a, a > 0, a 1; (ex)= ex;

5. (cos x)= –sin x;

 

 

3. ( x)′ =

1

;

 

 

6. (tg x)=

 

1

;

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93

7.

(ctg x)= −

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

12.

(loga x)=

 

 

1

 

;

(ln x)′ =

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln a

 

x

8.

(arcsin x)=

1

 

 

;

 

 

 

13. (sh x)= ch x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

(arccos x)= −

 

 

1

 

 

 

;

14. (ch x)= sh x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. (arctg x)=

 

1

 

 

;

 

 

 

 

15.

(th x)=

1

 

;

 

 

 

 

 

1+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x

 

 

 

11. (arcctg x)= −

 

1

 

 

;

16.

(cth x)= −

 

1

.

 

 

 

 

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

sh2 x

 

 

 

Правило дифференцирования сложной функции

Если функции y = f(x) и z = g(y) дифференцируемы соответственно в точках x0 и y0, где y0 = f(x0), то сложная функция z = g(f(x)) диффе- ренцируема в точке x0, причем z(x0) = g (y0) f (x0).

Производная обратной функции

Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна в некото- рой δ-окрестности Uδ(x0) точки x0 и имеет в точке x0 производную f '(x0) ≠ 0, тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в

точке у0 = f(x0), причем g( y0 ) =

1

.

 

 

f (x0 )

Правая и левая производная

Правой производной функции f(x) в точке x0 называется величина

f (x ) = lim

f (x0 + x) f (x0 )

,

 

+

0

x0+0

x

 

 

если указанный предел существует.

Левой производной функции f(x) в точке x0 называется величина

f (x ) = lim

f (x0 + x) f (x0 )

,

 

0

x00

x

 

 

если указанный предел существует.

Для существования производной f (x0) в точке x0 необходимо и доста- точно, чтобы в этой точке функция f(x) имела правую и левую производ-

ные, и эти производные были равны между собой: f (x

) = f (x

) = f (x ).

+

0

0

0

94

Логарифмическая производная

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и f(x0) 0, то логарифмической производной называется величина

f (x0 )

(ln f (x ))

=

 

.

 

0

 

f (x0 )

 

 

Функция вида y = (u(x))v(x) (u(x) > 0), где и основание и показатель изменяются вместе с независимой переменной x, называется показа- тельно-степенной. Простейшим примером такой функции является функция y = xx, x > 0.

Для дифференцирования показательно-степенной функции y = (u(x))v(x) можно применить формулу

y′ = y(ln y).

Например, найдем производную от функции y = xx:

y′ = xx (ln xx )′ = xx (x ln x)′ = xx (ln x + x 1) = xx (ln x + 1). x

Найти производную функции y = (u(x))v(x) можно также с помо- щью следующих свойств логарифмической функции:

a = eln a ; ln ak = k ln a.

Тогда

y = (u(x))v( x) = eln(u( x))v( x) = ev( x)ln u( x) ;

y′ = ((u(x))v( x) )′ = (ev( x)ln u( x) )′ = ev( x)ln u( x) (v(x)ln u(x))′ = = ev( x)ln u( x) (v(x)ln u(x) + v(x)(ln u(x))).

Для функции y = xx

y = xx = еln xx = exln x .

Тогда

y′ = exln x (x ln x)′ = xx (ln x + x 1) = xx (ln x + 1). x

95

Формулу y = y(lny)′ можно использовать для дифференцирования некоторых сложных функций. Например, для нахождения производ- ной от произведения

y = 5x (x2 + 1)3 tg2 x(x + 4)5

удобно применить логарифмическую производную, что позволит быстрее найти результат. Тогда

у′ = y (ln (5x (x2 + 1)3 tg7 x(x + 4)5 ))=

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y x ln 5

+ +

ln(x2 + 1) + 7ln tg x + 5ln(x + 4)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2x

 

 

7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

= y ln 5

+

 

+

 

 

+

 

 

=

 

 

 

tg x cos2

 

 

 

x + 4

 

 

 

 

 

2(x2 +1)

x

 

 

 

 

= 5x (x2 + 1)3 tg2

x(x + 4)5

 

 

3x

 

 

 

7

 

 

 

ln 5 +

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + 1

tg x cos2 x

=

+

5

 

.

x + 4

 

 

Пример 2.1.1

Найти производную функции y = x4 + x3 + 2х2 + 3x + 2 в точке x0 = –1.

Решение

y' = (–x4)' + (x3)' + 2(х2)' + 3(x)' + (2)' = –4x3 + 3x2 + 4х + 3.

Тогда

y'(–1) = –4(–1)3 + 3(–1)2 + 4(–1) + 3 = 4 + 3 – 4 + 3 = 6.

Пример 2.1.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти производную функции y =

1

 

 

 

2

 

 

в точке x0 = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2x3

 

3 4x

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

3

 

2

1

 

y =

=

 

x 4

x 3 .

 

 

 

3 4

 

4 2x3

 

3 4x 4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

96

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ =

 

x

4

 

 

 

 

x

3 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

3

1

 

 

 

2

 

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

7

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

x

 

4 +

 

 

 

x 3 .

4 2

 

 

 

3 4

3

 

 

 

 

44 2

 

 

33 4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

7

 

 

 

2

 

 

2

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

7

 

 

1

 

 

 

 

2

2

4

 

2

 

 

3

 

 

 

 

2

 

y(2) = −

 

 

2

 

+

 

 

 

 

= −

2

 

 

 

+

 

 

 

 

= −

22 +

22 =

 

 

4

 

 

3

 

4

4

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

44 2

 

 

 

 

 

33 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

+

 

=

 

 

 

 

= −

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 4

3 4

6

 

16

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.1.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 )3 x

 

 

 

 

 

 

Найти производную функции y = 2(6 x +

 

 

в точке x0 = 1.

Решение

Преобразуем функцию:

 

(

 

 

)

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

3

 

1

 

 

 

1

y = 2

6

x + x3

3

x = 2

x6 + x2 x3

= 2

x6

+ 3 + x2

+ 3

= 2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

11

 

 

 

 

 

 

1

 

1

1

 

11

 

11

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = 2

x2 + x 6

= 2

 

 

x2

 

+

 

 

 

 

x 6

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

11

 

5

 

 

11

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

x 2 +

 

 

 

x6

=

 

 

 

 

x6 x 2 ;

2

6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(1) =

11

1 =

8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

11

+ x 6 .

Пример 2.1.4

Найти производную функции

y =

8

 

в точке x0 = 0.

2x3 + 3x2 x 1

97

Решение

y′ = −

8(2x3 + 3x2 x 1)

8(6x2 + 6x 1)

 

= −

 

;

(2x3 + 3x2 x 1)2

(2x3 + 3x2 x 1)2

y(0) = − 8(1) = 8.

(1)2

Пример 2.1.5

Найти производную функции y =

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2x + 3 x2

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

= (x2

+ 2x + 3)

1

 

y =

 

 

3 .

3 2x + 3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции

(f(g(x))= f (g(x))g(x).

Тогда

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

)

1

1

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

+

 

 

+

 

 

 

+

 

+

 

=

 

 

 

 

y

3 (

x2

2x

3

3

 

x2

2x

3

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − 1 (x2 + 2x + 3)3 (2x

+ 2) =

 

 

2x 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33 (x2 + 2x + 3)4

Пример 2.1.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти производную функции y = (2 x)2 +

1x2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

(f(g(x))= f (g(x))g(x).

98

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = ((2 x)2 )+

1

( 1x2

)= 2(2 x)(2 x)+

1

1

 

(1x2 )=

 

 

 

2 1x2

2

 

 

 

2

 

 

= 2(2 x)(1) +

 

2x

= −2(2 x)

 

 

x

.

 

 

1x2

 

 

 

 

 

 

4

2

 

1x2

 

Пример 2.1.7

Найти производную функции y = 6xsin x.

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций

(uv)= uv + uv.

Тогда

y' = (6x)sin x + 6x(sin x)' = 6xln6 sin x + 6xcos x.

Пример 2.1.8

Найти производную функции y =

1

log

 

(2x 3) .

sin(2x)

2

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

Преобразуем функцию:

 

 

 

 

y =

1

log2 (2x 3) = (sin (2x))1 log2 (2x 3).

sin (2x)

 

 

 

 

 

 

По правилу нахождения производной сложной функции y′ = ((sin (2x))1 )(log2 (2x 3))=

= − (sin (2x))2 (sin (2x))

 

1

 

 

 

 

(2x 3)′ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 3)ln 2

(

 

)

 

 

 

= − (sin (2x))

2

(cos(2x))(2x)

 

2

 

 

 

2cos

2x

2

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 3)ln 2

sin2 (2x)

(2x 3)ln 2

Пример 2.1.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти производную функции y =

x + 2 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной частного

u v

Тогда

=uv uv.

v2

y′ = ( x + 2 1)x (

x + 2 1)x= 2 x + 2 (x + 2)x (

x + 2 1) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

x

x + 2

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2(x + 2) + 2 x + 2

 

 

2 x + 2

x 4

 

 

 

2 x + 2

 

 

 

 

=

 

 

 

=

=

.

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 x + 2

2x2 x + 2

Пример 2.1.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Найти производную функции

y = −

 

.

 

 

 

(1+ cos x)3

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −

 

2

 

= −2(1+ cos x)3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ cos x)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По правилу нахождения производной сложной функции

y′ = −2(3)(1+ cos x)31 (1+ cos x)=

 

= 6(1+ cos x)4 (0 + (sin x)) = −

 

6sin x

.

(1

+ cos x)4

 

 

Пример 2.1.11

Найти производную функции y = log52 (2 x) .

Решение

По правилу нахождения производной сложной функции

y′ = 5log24 (2 x)(log2 (2 x))= 5log24 (2 x)

 

1

 

(2

x)=

 

x)ln 2

 

 

 

(2

 

 

= 5log24 (2 x)

 

1

(1) = −

5log24 (2 x)

.

 

 

x)ln 2

 

 

(2

 

(2 x)ln 2

 

 

100