2004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb

Следовательно, y = x – 1 – уравнение правой наклонной асимптоты. Найдем левую наклонную асимптоту:

Следовательно, y = −x + 1 – уравнение левой наклонной асимптоты. 7. Построим эскиз графика функции (рис. 1.47).

Y

y = 1 − x

y = x − 1

Рис. 1.47

91

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Производная функции, ее геометрический смысл

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Тогда для любой точки x U(x0) разность x − x0 обозначает- ся ∆x и называется приращением аргумента. Соответствующая раз- ность значений функции f(x) – f(x0) обозначается ∆f(x0) и называется

приращением функции. Так как x = x0 + ∆x, то ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0).

Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отно- шения приращения функции f(x0, x) к соответствующему прира- щению аргумента x, если приращение аргумента стремится к нулю:

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график некоторой функции y = f(x), непрерывной на интервале (a, b) (рис. 2.1).

Y

y = f(x)

N

М0

y0

ϕ

Рис. 2.1

92

Пусть точки M0(x0, f(x0)), N(x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)) − произвольные точ- ки, лежащие на кривой y = f(x) (a < x0 < b). Прямая M0N называется

f (x0 + x) − f (x0 )

x

енту прямой, проходящей через точки M0 и N. Пусть x → 0, тогда точка N стремится к точке M0. Если существует производная f ′(x0),

т.е. существует предел отношения f (x0 + x) − f (x0 ) , то секущая M0N x

стремится к прямой, проходящей через точку M0 с угловым коэффи- циентом f ′(x0). Предельное положение секущей M0N при стремлении N к M0 называется касательной к графику функции y = f(x) в точке M0.

Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэф- фициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

f ′(x0) = k = tg ϕ.

Тогда y – f(x0) = f ′(x0)(x – x0) – уравнение касательной к графику

функции y = f(x) в точке х0.

Нормалью к кривой в точке с абсциссой х0 называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке х0.

Тогда x – x0 + f ′(x0)(y – f(x0)) = 0 – уравнение нормали к графику функции y = f(x) в точке х0.

Основные правила нахождения производных

Пусть с = const, v = v(x) и u = u(x) – некоторые функции, диффе- ренцируемые в точке x0.

93

Правило дифференцирования сложной функции

Если функции y = f(x) и z = g(y) дифференцируемы соответственно в точках x0 и y0, где y0 = f(x0), то сложная функция z = g(f(x)) диффе- ренцируема в точке x0, причем z′(x0) = g ′ (y0) f ′ (x0).

Производная обратной функции

Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна в некото- рой δ-окрестности Uδ(x0) точки x0 и имеет в точке x0 производную f '(x0) ≠ 0, тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в

Правая и левая производная

Правой производной функции f(x) в точке x0 называется величина

если указанный предел существует.

Левой производной функции f(x) в точке x0 называется величина

если указанный предел существует.

Для существования производной f ′(x0) в точке x0 необходимо и доста- точно, чтобы в этой точке функция f(x) имела правую и левую производ-

94

Логарифмическая производная

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и f(x0) ≠ 0, то логарифмической производной называется величина

Функция вида y = (u(x))v(x) (u(x) > 0), где и основание и показатель изменяются вместе с независимой переменной x, называется показа- тельно-степенной. Простейшим примером такой функции является функция y = xx, x > 0.

Для дифференцирования показательно-степенной функции y = (u(x))v(x) можно применить формулу

y′ = y(ln y)′.

Например, найдем производную от функции y = xx:

y′ = xx (ln xx )′ = xx (x ln x)′ = xx (ln x + x 1) = xx (ln x + 1). x

Найти производную функции y = (u(x))v(x) можно также с помо- щью следующих свойств логарифмической функции:

a = eln a ; ln ak = k ln a.

Тогда

y = (u(x))v( x) = eln(u( x))v( x) = ev( x)ln u( x) ;

y′ = ((u(x))v( x) )′ = (ev( x)ln u( x) )′ = ev( x)ln u( x) (v(x)ln u(x))′ = = ev( x)ln u( x) (v′(x)ln u(x) + v(x)(ln u(x))′).

Для функции y = xx

y = xx = еln xx = exln x .

Тогда

y′ = exln x (x ln x)′ = xx (ln x + x 1) = xx (ln x + 1). x

95

Формулу y ′ = y(lny)′ можно использовать для дифференцирования некоторых сложных функций. Например, для нахождения производ- ной от произведения

y = 5x (x2 + 1)3 tg2 x(x + 4)5

удобно применить логарифмическую производную, что позволит быстрее найти результат. Тогда

у′ = y (ln (5x (x2 + 1)3 tg7 x(x + 4)5 ))′ =

Пример 2.1.1

Найти производную функции y = –x4 + x3 + 2х2 + 3x + 2 в точке x0 = –1.

Решение

y' = (–x4)' + (x3)' + 2(х2)' + 3(x)' + (2)' = –4x3 + 3x2 + 4х + 3.

Тогда

y'(–1) = –4(–1)3 + 3(–1)2 + 4(–1) + 3 = 4 + 3 – 4 + 3 = 6.

96

Тогда

Решение

Преобразуем функцию:

Пример 2.1.4

97

Решение

y′(0) = − 8(−1) = 8.

(−1)2

Пример 2.1.5

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции

(f(g(x))′ = f ′(g(x))g′(x).

Тогда

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

(f(g(x))′ = f ′(g(x))g′(x).

98

Пример 2.1.7

Найти производную функции y = 6xsin x.

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций

(uv)′ = u′v + uv′.

Тогда

y' = (6x)′sin x + 6x(sin x)' = 6xln6 sin x + 6xcos x.

Пример 2.1.8

По правилу нахождения производной сложной функции y′ = ((sin (2x))−1 )′ − (log2 (2x − 3))′ =

99

Решение

Воспользуемся правилом нахождения производной частного