cMS_lec

7) количеством обслуженных и потерянных заявок.

В многофазных СМО очереди могут быть на каждой фазе обслуживания.

2. Моделирование работы с материальными ресурсами

Материальные ресурсы подразделяются на две разновидности: неперемещаемые и перемещаемые.

Неперемещаемый ресурс выделяется в определенном месте (как в реальности, так и в модели). Например, мастер в парикмахерской – это один элемент ресурса, выделяемый клиенту для обслуживания (стрижки). Этот элемент не может перемещаться вместе с клиентом. После обслуживания одного клиента он либо приступит к обслуживанию следующего, если есть очередь, либо будет отдыхать.

Перемещаемый ресурс выделяется клиенту, после чего клиент использует его в других местах и возвращает только при отсутствии необходимости дальнейшего использования. Например, если мы рассмотрим некоторое автотранспортное предприятие, то там клиенту могли бы выделить три грузовика для использования в работах, проводимых в других местах (естественно, не на самом предприятии).

Неперемещаемый ресурс представляет собой «базу», на которой расположены (или к которой приписаны) какие-то ресурсные единицы; их можно использовать только на базе. Поток заявок поступает в очередь к ресурсу.

Неперемещаемый ресурс имитируется в виде многоканального обслуживающего прибора (накопителя). Каждой ресурсной единице соответствует один канал обслуживания. Канал принимает на обслуживание заявку на время, которое может зависеть от атрибутов узла, самой заявки и других параметров.

По истечении времени обслуживания канал (элемент ресурса) безусловно освобождается, а заявка переходит в следующий узел.

Число свободных каналов – это остаток ресурса, а количество заявок в очереди к ресурсу – это дефицит ресурса. Мощность базируемого ресурса N является величиной постоянной.

Перемещаемый ресурс представляет собой «склад» единиц ресурса, количество которых известно. Число таких складов не регламентировано. Заявка попадает в очередь к складу и требует выделения определенного числа единиц ресурса. Склад ресурсов может описываться в имитационной модели различными способами.

Обслуживание заявки заключается в выделении ей требуемого числа единиц ресурса. Заявка «путешествует» с захваченными единицами по графу модели до тех пор, пока в соответствии с определенными условиями она не вернет все (или часть) единицы ресурса. Заявка может несколько раз становиться в очередь к одному и тому же ресурсу, получая дополнительные единицы.

Существует следующая особенность при работе с перемещаемыми ресурсами: заявка может отдать какие-либо единицы ресурса не только на тот склад, на котором он их получил, но и на другой. При таком перераспределении на этих двух складах произойдет изменение мощностей: на одном она уменьшится, а на другом – увеличится.

3. Сети Петри

Графы специального вида, получившие в дальнейшем название «сети Петри» были впервые введены Карлом Петри в 1960-х годах. В следующем десятилетии начался «бум» разработок в этом направлении.

Сети Петри используется для анализа причинно-следственных связей в сложных системах. Аппарат теории сетей Петри позволяет описывать структуру и взаимодействие параллельных систем и процессов. Сеть Петри задается четырьмя элементами:

PN = (P, T, I, O), где

Р = {p1, p2, ..., pn} – конечное множество позиций, n ≥ 0, T = {t1, t2, ..., tm} – конечное множество переходов, m ≥ 0.

I: T → P∞ является входной функцией – отображением из переходов во множество позиций,

O: T → P∞ – выходная функция – также отображение из переходов в множество позиций.

Графически сеть Петри определяется как двудольный граф, т.е. все вершины графа относятся к одному из двух классов – позициям и переходам. Позиции изображаются окружностями, переходы – отрезками прямой (рис. 2). Дуги в сетях Петри являются направленными.

Рис. 2. Структура сети Петри

Входными позициями некоторого перехода tj называются позиции, из которых исходят дуги, входящие в данный переход. Соответственно, выходными позициями называются позиции, в которые входят дуги, исходящие из данного перехода.

Позиция pi является входной позицией перехода tj в том случае, если pi I(tj), pi является выходной позицией того же перехода, если pi O(tj).

Для представления динамических свойств объекта вводится функция маркировки (разметки): µ: P → {0, 1, 2, …}. Маркировка – присвоение абстрактных объектов, называемых фишками (или метками), позициям.

Фишки изображаются точками, расположенными внутри позиций. Таким образом, каждой позиции сети ставится в соответствие натуральное число, указывающее количество фишек в данной позиция. Это число называют разметкой позиции, а совокупность таких чисел для всех позиций сети называют разметкой сети. Позиция может и не содержать фишек, т.е. иметь нулевую разметку.

Функционирование сети Петри отражается путем перехода от разметки к разметке. Сеть Петри выполняется с помощью запусков переходов. Переход запускается удалением фишек из его входных позиций и образованием новых фишек, помещаемых в его выходные позиции. Однако для запуска перехода он должен быть разрешён. Переход называется разрешённым, если каждая из его входных позиций имеет число фишек по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход. Фишки во входной позиции, которые разрешают переход, называются его разрешающими фишками.

Переход запускается удалением разрешающих фишек из всех его входных позиций, причём количество удаленных фишек для каждой позиции соответствует числу дуг, идущих из этой позиции в переход, с последующим помещением фишек в каждую из его выходных позиций; количество помещаемых фишек в позицию соответствует количеству дуг, входящих в данную позицию из перехода.

Предметом теоретического исследования сетей Петри является процесс их функционирования, т.е. возможные последовательности срабатывания переходов и свойства получаемых при этом разметок сети. Как только введено понятие «срабатывание» перехода – появляется возможность говорить о функционировании сети и моделировании процессов, этапы которых связаны между собой причинноследственной связью.

Пример (рис. 3). Переход t3 I(t3) = {p2} и O(t3) = {p3, p4} разрешен каждый раз, когда в р2 будет хотя бы одна фишка. Переход t3 запускается удалением одной фишки из позиции р2 и помещением одной фишки в позицию р3 и р4 (его выходы). Переход t4, в котором I(t4) ={p2, p4} и O(t4) = {p2, p3, p3} запускается удалением по одной фишке из позиций p2 и p4, при этом одна фишка помещается в p2 и две в р3.

Рис. 3. Примеры запуска переходов

Разметку сети до срабатывания любого перехода называют начальной, или стартовой, разметкой. Затем срабатывает тот или иной переход. При этом разметка сети меняется. Последовательное срабатывание переходов и соответствующее изме-

нение разметки сети называют процессом функционирования сети. Завершение процесса функционирования приводит сеть к разметке, называемой конечной.

Большое практическое значение имеет изучение таких свойств сетей Петри, как ограниченность, активность, достижимость и покрываемость.

Если ни в одной позиции сети при любой последовательности срабатываний переходов количество фишек не превышает некоторого K, то такую сеть называют K-ограниченной. 1-ограниченная позиция называется безопасной. Сеть Петри ограниченна, если все ее позиции ограничены. Изучение данного свойства может иметь важное практическое значение при проектировании технических систем, в которых должно быть ограниченно присутствие одновременное присутствие активных процессов, например моделирование транспортных потоков или систем управления трафиком в глобальных вычислительных сетях. Такие системы должны быть обеспечены механизмами автоматической разгрузки или распределения.

При распределении ресурсов между параллельными процессами системы могут возникать тупики. Особенно остро эта проблема проявляется в области вычислительной техники. Тупик в сети Петри – это множество переходов, которые не могут быть запущены. Выявление таких тупиков можно назвать исследованием сети Петри на активность.

Очевидными являются задачи достижимости и покрываемости. Задача достижимости: можно ли из данной маркировки µ достичь маркировки µ′? Задача покрываемости: для данной маркировки µ существует ли достижимая маркировка µ′, такая что µ′ ≥ µ.

Сети Петри представляют удобный математический аппарат для моделирования параллельных технологических процессов с разделяемыми ресурсами. Преимуществом сетей Петри также является легкость построения иерархических конструкций, что позволяет сначала исследовать отдельные подсистемы, а затем, объединяя уже созданные модели, всю систему в целом. Необходимо также отметить, что на сегодняшний день практически все компиляторы и операционные системы оптимизируются с помощью методов анализа сетей Петри.