с.м.чернов_квантовая механика
.pdfИнтересно отметить, что указанная производная определяется не только
свойствами оператора F , но зависит от особенностей силового поля U (r,t ),
входящего в оператор H .
Полученный результат (18.3) позволяет сформулировать общий критерий, когда физическая величина сохраняется во времени (является интегралом
|
= const , если выполнены два условия: |
движения). Очевидно, F |
1) ∂F = 0, то есть, оператор явно от времени не зависит.
∂t
F
|
|
, то есть оператор |
|
коммутирует с |
|
|||||||
2) F, H = 0 |
F |
H . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Закон сохранения энергии. |
|
|
|
|
||||||||
Пусть частица движется в произвольном стационарном поле U =U (r), |
||||||||||||
не зависящем от времени. Тогда оператор Гамильтона |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
(r ) |
|
|
|
|
|
|
H |
= − |
|
+ U |
|
|
|||
|
|
|
|
2 m |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
также явно от времени не зависит. Тогда |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
1) |
∂ H |
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂t |
= 0; 2) H , H |
= H |
− H |
= 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
в любом |
стационарном |
поле |
энергия сохраняет- |
||||||||
|
= const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся: E = H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 19. Стационарные состояния. Стационарное уравнение Шредингера
Пусть микрочастица движется в силовом поле, где потенциальная энергия частицы U (r) не зависит от времени. Такие поля называются стационар-
ными. В этом случае оператор H также от времени не зависит. Тем не менее, динамика движения частицы описывается общим УШ:
∂Ψ (r , t ) = Ψ ( ) . (19.1)
ih H r , t
∂t
Сматематической точки зрения, уравнение (19.1) является дифференциальным уравнением в частных производных. В нашем случае его можно решить методом разделения переменных. Для этого представим волновую функцию в виде:
Ψ(r,t )= A(t ) f (r). (19.2)
41
Подставляя решение (19.2) в уравнение (19.1), и разделив полученный результат на функцию ψ (r,t ), получим соотношение:
|
|
dA(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H f (r) |
|
|
ih |
|
dt |
|
= |
≡ E = const . |
(19.3) |
|
|
A(t ) |
|
f (r) |
||||
|
|
|
|
|
|
В последнем уравнении левая часть зависит только от t, а правая лишь от r . Причем, равенство выполняется при всех значениях независимых пере-
менных r и t, но это возможно лишь тогда, когда левые и правые части равны постоянной Е. Тогда мы получаем два независимых уравнения для временной
и координатной части функции: |
|
|
|
|
||
|
dA (t ) |
= − |
i |
EA (t ); |
(19.4) |
|
|
dt |
|
h |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
(r)= Ef (r). |
(19.5) |
|||
|
H f |
Отсюда следует, что временная зависимость волновой функции являет-
ся универсальной функцией и не зависит от потенциала U (r). Особенность силового поля определяет лишь координатную часть волновой функции f (r)
в соответствии с уравнением (19.5). Из этого уравнения можно определить также физический смысл постоянной разделения Е. Так как E является собст-
венным значением гамильтониана, то она имеет смысл полной энергии частицы в заданном силовом поле. Уравнение (19.5) является основным уравнением квантовой механики при решении стационарных задач и называется
стационарным уравнением Шредингера: |
|
|
|||
− |
h2 |
f (r )+ U (r ) f |
(r ) = E f (r ). |
(19.6) |
|
2 m |
|||||
|
|
|
|
Не сложно получить решение уравнения (19.4) методом разделения переменных:
|
|
|
i |
|
|
|
A(t )= e− |
|
|
Et . |
|
(19.6) |
|
h |
|
|||||
Таким образом, в любых стационарных полях волновая функция |
|
|||||
частицы имеет вид: |
|
|
||||
|
i |
|
|
|||
ψ (r,t )= e− |
|
Et f |
(r) , |
(19.10) |
||
h |
где f (r) является решением стационарного УШ (19.5).
Важно заметить, что, хотя волновая функция и зависит явно от t, однако, все
наблюдаемые параметры являются стационарными, например, плотность вероятности и плотность тока вероятности определяются лишь координатной волновой функцией:
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
||
ρ = |
|
Ψ |
|
2 |
= Ψ Ψ = e |
|
Et f * (r )e− |
|
Et f (r )= |
|
f (r ) |
|
2 , |
|||
|
|
h |
h |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
(Ψ* Ψ − Ψ Ψ* ) = |
|
|
|
(19.11) |
|||||||
j = |
h |
|
h |
( f * f − f f * ). |
||||||||||||
2 m i |
|
2 m i |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА III
Точно решаемые задачи квантовой механики
§ 20. Общие свойства одномерного движения
Пусть частица массы m движется в стационарном одномерном поле
U (x). В.ф. для любого стационарного поля имеет вид:
−i Et
ψ (x,t)= e h ψ (x), (20.1)
где координатная часть ψ (x) является решением стационарного одномерного УШ вида
d 2ψ (x) |
+ |
2m |
E −U (x) ψ (x)= 0 . |
(20.2) |
||
dx2 |
h2 |
|||||
|
|
|
|
При этом в.ф. должна удовлетворять “стандартным” условиям:
1)Однозначности.
2)Конечности.
3)Непрерывности ψ .
4) Непрерывности ψ ′ = ddxψ (если потенциальная энергия не испытывает
бесконечных скачков).
Первые три требования непосредственно связаны с физическим смыслом в.ф. ψ (x). Однако, четвертое условие является следствием УШ.
Рассмотрим, например, потенциал, имеющий конечный скачок U0 в точке x = a . УШ (20.2) запишем в виде:
d 2ψ (x) = − 2m E −U (x) ψ (x)≡ f (x). dx2 h2
Интегрируя последнее уравнение в окрестности точки a , и используя
теорему о среднем, получаем:
c |
d 2ψ |
dx =ψ |
|
(c)−ψ |
|
c |
f (a |
)(c −b). |
∫ dx2 |
|
|
(b)= ∫ f (x)dx = |
|||||
b |
|
|
′ |
|
′ |
b |
′ |
|
При конечном f (a′) и c → b имеем: ψ′(c)=ψ′(b).
Однако в случае бесконечного скачка потенциала это равенство нару-
шается и производная ψ′(x) может испытывать скачок.
Укажем некоторые достаточно общие свойства одномерного движения для некоторого класса силовых полей U (x).
Теорема 1. В одномерных задачах все энергетические уровни дискретного спектра не вырождены.
43
Проведем доказательство от противного. Пусть ψ1 и ψ2 – две различные в.ф., соответствующие одному и тому же значению энергии E . Следовательно, эти функции удовлетворяют УШ:
ψ ′′ |
|
2m |
(U |
− E )= |
ψ ′′ |
или |
|
|
1 |
= |
|
2 |
|
||||
h2 |
|
|||||||
ψ1 |
|
|
|
ψ2 |
|
|
||
ψ1′′ψ2 −ψ1ψ2′′ = 0 |
|
d |
(ψ1′ψ2 −ψ1ψ2′)= 0 . |
(20.3) |
||||
dx |
Следовательно, |
ψ ′ψ |
2 |
−ψ ψ ′ = c |
= const . |
|
|
||
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
Так как в случае дискретного спектра при |
x → ±∞ ψ1 =ψ2 |
= 0, |
||||||
ψ1′ |
ψ2′ |
|
|
|
′ |
ψ′ |
|
|
ψ1 |
= ψ2 |
(непрерывность (lnψ ) = |
ψ |
) |
После интегрирования (20.5), получаем:
lnψ1 = lnψ2 + ln c2 , т.е.
ψ1 = c2ψ2
(20.4) то c1=0, т.е.
(20.5)
(20.6)
Таким образом, по существу ψ1 и ψ2 совпадают (являются физически эк-
вивалентными). Постоянную c2 обычно выбирают из условия нормировки.
Теорема 2. Волновая функция ψn (x) дискретного спектра, соответствующая (n +1)−му значению энергии En+1 обращается в нуль n раз при конечных значениях x (“осцилляционная” теорема).
В частности, при n = 0 , что соответствует основному уровню E1 , в.ф. не должна иметь узлов. Это утверждение мы проверим на конкретных задачах.
Теорема 3. Волновая функция частицы, которая движется в поле U (x) являющейся четной функцией x, т.е. U (−x)=U (x), должна обладать определенной четностью.
В этом случае при замене x на (–x) УШ не меняется. Следовательно, если ψ (x) решение УШ, то ψ (−x) также будет решением УШ. Но в силу n.1
дискретный спектр не вырожден, т.о.
ψ (−x) = cψ (x) . |
(20.7) |
Меняя еще раз знак x в равенстве (20.7), получаем
ψ(x) = cψ(−x) = c2ψ(x) c2 =1 c = ±1.
44
Таким образом, при симметричной потенциальной энергии в.ф. стацио-
нарного состояния может быть либо четной, либо нечетной. В частности, для
основного состояния в ф. не имеет узлов и должна быть всегда четной функцией х. Нечетные решения всегда должны иметь узел при х=0,
ψ неч (0 ) = 0 , т.к. ψ (0) = −ψ (0) = 0 .
Теорема 4. Пусть частица движется в одномерном периодическом по-
ле с периодом |
a (U (x +na)=U (x); |
n = 0, ±1, ±2,...±∞). Тогда волновая функция |
|||||||||||||
частицы должна иметь вид |
|
ψ (x)= A(x)eikx , где амплитуда A(x) |
удовлетво- |
||||||||||||
ряет условию: |
A(x +a)= A(x) |
(Теорема Блоха). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Для доказательства заменим в УШ (20.2) x → x +a : |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d 2ψ (x + a) |
+ 2m |
E −U (x + a) ψ (x + a)= 0 . |
(20.8) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d (x + a)2 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
Так как d (x +a)= dx и U (x +a)=U (x), то УШ (20.8) примет вид: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d 2ψ (x + a) |
+ 2m |
E −U (x) ψ (x + a)= 0 . |
(20.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
d (x)2 |
h2 |
|
|
|
|
|
|||
|
Следовательно, любая функция ψ (x +na) является решением того же УШ, |
||||||||||||||
что |
|
|
|
и ψ (x). |
Если спектр |
|
энергии |
является невырожденным |
то |
||||||
ψ (x +a)= cψ (x); ψ (x +2a)= cψ (x +a)= c2ψ (x); |
ψ (x +na)= cnψ (x). Чтобы выпол- |
||||||||||||||
нить условие ограниченности в.ф. при n → ±∞, необходимо потребовать, |
что- |
||||||||||||||
бы |
|
c |
|
=1. Общая запись комплексного числа с модулем 1 есть c = eika и, таким |
|||||||||||
|
|
образом, в любом периодическом поле волновая функция должна удовлетворять условию:
ψ (x +a)= eikaψ (x) |
(20.10) |
Условию (20.10) удовлетворяет любая функция вида: |
|
ψ (x)= A(x)eikx; A(x +a)= A(x). |
(20.11) |
Проверим, что уравнение (20.11) эквивалентно условию (20.10). Действительно:
ψ (x + a)= A(x + a)eik(x+a) = A(x)eikxeika = eikaψ (x).
Волновая функция (20.11) называется в.ф. Блоха (1928).
45
Для свободного пространства в.ф. Блоха совпадает с плоской волной де Бройля ψ (x)= A0eikx , а есть импульс свободной частицы. В периодическом поле, однако, волновое число k определяется неоднозначно, т.к. при замене k → k′+ 2πan мы получаем ту же в.ф., удовлетворяющую условию (20.10).
Действительно: ψ (x +a)= eik′aψ (x)= eikaψ (x)ei2πn = eikaψ (x).
То есть импульсы и p′ = hk′ также является физически эквивалентными. Поэтому p = hk в периодическом поле называют квазиимпульсом.
§ 21. Движение частицы в прямоугольной потенциальной яме
Известно, что в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы ширины 2а частица имеет дискретные уровни энергии вида:
En = π2h2 n2 ( n =1, 2…). (21.1)
8ma2
Рассмотрим аналогичную задачу для более реалистичного случая ямы конечной глубины U0 . Пусть частица массы m движется в одномерном ста-
ционарном поле вида:
U(x)
I |
II |
III |
0; |
|
|
x |
|
≤ a |
|
|
|
|
|
|
U0 |
Е |
||||
|
|
|
||||||
U (x)= |
; |
|
x |
|
≥ a |
|||
|
|
|||||||
U0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
+a |
x |
Рис. 4. Модель прямоугольной ямы ширины 2а и глубины U0
При этом ограничимся случаем E<U0 .
Так как силовое поле является четной функцией координаты х, то решение УШ должно также обладать определенной четностью.
Движение частицы в таком поле описывает УШ:
46
d 2ψ (x) |
+ 2m [E −U (x)]ψ (x) = 0 . |
(21.2) |
|||
dx2 |
|
h2 |
|
||
1) В областях I и III U(x) =U0 > E и УШ принимает вид: |
|
||||
|
d 2ψ |
2 |
|
||
|
|
dx2 |
−æ ψ = 0 ; |
(21.3) |
|
Q2 ≡ |
2m |
|
(U0 − E) > 0 . |
(21.4) |
|
2 |
|||||
|
|
h |
|
|
Частными решениями уравнения (21.3) являются функции e±æx .
Чтобы решения удовлетворяли стандартному условию ограниченности, можно взять решения в виде:
|
|
|
|
ψ1 (x) = Aeæx |
|
(x < −a) |
. |
(21.5) |
|||
2) В области II ( |
|
|
|
ψ3 (x) = Ae-æx |
|
(x > a) |
|||||
|
x |
|
< a) U (x) = 0 |
и УШ (21.2) будет иметь вид: |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
d 2ψ |
+ k2ψ2 = 0 , |
|
(21.6) |
||||
|
|
|
|
dx2 |
|
2mE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 = |
> 0 . |
|
(21.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
h |
2 |
|
|
|
|
Частными решениями УШ в этой области, обладающими свойством |
|||||||||||
четности (или нечетности) могут быть функции: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ψ2(+) = B cos kx |
. |
|
(21.8) |
||||
|
|
|
|
ψ2(−) = B sin kx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения уровней энергии Е, которые входят в k и æ, необходимо обратиться к оставшимся стандартным условиям. Полученные решения ψ1,ψ2 и ψ3 являются конечными, однозначными, непрерывными и имеют не-
прерывные производные везде, кроме граничных точек x = ±a . Поэтому осталось «сшить» решения в этих точках. В силу симметрии поля достаточно рассмотреть эти условия лишь в одной точке x=a:
ψ2 |
(a) =ψ3 |
(a) |
|
ψ′ |
(a) |
= |
ψ′ |
(a) |
. |
(21.9) |
ψ2′ |
(a) =ψ3′ |
|
2 |
|
3 |
|
||||
(a) |
|
ψ2 (a) |
|
ψ3 (a) |
|
|
В случае четного решения ψ2 |
=ψ2(+) = B cos kx имеем: |
|
||||
|
−kB sin ka |
= −æAe−æa |
или k tgka = æ . |
(21.10) |
||
|
B cos ka |
Ae−æa |
|
|
|
|
Для нечетного решения ψ2 =ψ2(−) = B sin kx получаем: |
|
|||||
|
kB cos ka |
= −æAe−æa |
или k ctgka = −æ . |
(21.11) |
||
|
|
|||||
|
B sin ka |
Ae−æa |
|
|
|
Полученные уравнения можно исследовать графически. Умножая эти уравнения на а и вводя обозначения для безразмерных величин:
47
α ≡ ak ; |
β ≡ aæ , |
(21.12) |
уравнения (21.10) и (21.11) принимают вид:
β =αtgα (четные решения); |
(21.13а) |
β = −αctgα (нечетные решения). |
(21.13б) |
Заметим, что α и β зависят от Е, однако сумма их квадратов от Е не зависит:
α2 + β2 = a2 (k 2 +Q2 ) = 2m U0a2 ,
h2
так что на плоскости (α , β ) это уравнение есть уравнение окружности
α2 +β2 = R2 с радиусом; |
(21.14а) |
1
R = 2mU20a2 2 . (21.14б)
h
Таким образом, нахождение энергии частицы в яме сводится к совместному решению системы уравнений (21.13) и (21.14). Заметим, что все расчеты чувствительны к характерной комбинации U0a2 . Поэтому для иллюстрации
рассмотрим 3 частных случая:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
a2 |
= |
|
|
h2 |
; R =1; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
a2 =4 |
|
|
h2 |
; R = 2; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2m |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
a2 =16 |
|
h2 |
|
; R = 4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Графически решение системы уравнений (21.13) и (21.14) представлены |
||||||||||||||||
на рисунке 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5. Графическое решение системы |
||||||
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений (21.13) и (21.14). Пунктирная |
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривая соответствует нечетным |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решениям (21.13б). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
π |
π |
3π |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
В первом случае |
R = R1 =1 (основное состояние) в яме имеется един- |
ственный четный уровень. Во втором случае R = R2 = 2 имеется один четный
48
и один нечетный уровень. В третьем случае R = R3 = 4 имеется два четных и
один нечетный уровень, причем уровни с различной четностью чередуются. |
||||||||||||||
Рассмотрим предельный случай ямы с бесконечно высокими стенками |
||||||||||||||
(U0 → ∞; R → ∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для четного решения из уравнения (21.10) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q |
U0 − E |
|
π |
|
h2k2 |
|
|
π2h2 |
2 |
|
||||
tgka = k = |
|
E |
→∞; |
ka = n 2 (n=1, 3, 5…); |
E = |
|
|
= |
|
|
n |
. |
||
|
2m |
8ma2 |
||||||||||||
Для нечетного решения из уравнения (21.11) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ctgka = − ж |
= − |
U0 − E |
→ −∞; ka = n π (n = 2,4,6,...); E = |
|
π 2h2 |
n2 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
k |
|
E |
2 |
|
|
8ma2 |
|
|
Объединяя четные и нечетные решения, мы получим результат, совпадающий
с решениями (21.1) для n =1,2,3,4,...
Замечание. Модель металлов по Зоммерфельду.
Решенная задача может служить иллюстрацией одномерной модели металла, находящегося при абсолютном нуле температуры. Движение свободных электронов в металлах, выход которых наружу затруднен из-за притяжения ионов кристаллической решетки, можно представить как движение электронов внутри потенциальной ямы глубины U0 , ширина которой совпадает с
размерами металла. В соответствии с принципом минимума энергии и принципом запрета Паули электроны занимают все нижние уровни энергии до мак-
симально разрешенного уровня F , |
называемый энергией Ферми. Тогда раз- |
||||||||
ность A =U0 − F следует считать работой выхода металла. |
|
||||||||
§ 22. Линейный гармонический осциллятор. |
|
||||||||
Координатное представление |
|
||||||||
Линейным гармоническим осциллятором называется тело массой m, ко- |
|||||||||
торое движется в силовом поле: |
|
|
|
|
mω2 x2 |
|
|
||
|
U (x)= |
. |
(22.1) |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
В классической механике |
(Fx = −kx, k = mω2 ) энергия осциллятора |
|
|||||||
E |
|
|
p2 |
mω2 x2 |
(22.2) |
||||
|
= |
|
x |
+ |
2 |
||||
|
|
|
|||||||
|
кл. |
|
2m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
может принимать непрерывный ряд значений из интервала [0,∞]. В теории Планка осциллятор имеет дискретный набор уровней
EПланк = nhω; n = 0,1,2,... |
(22.3) |
Рассмотрим свойства осциллятора с точки зрения квантовой механики. Укажем вначале свойства осциллятора, следующие из общей теории (§20):
49
1. Так как движение частицы финитное, то уровни энергии En должны
быть дискретными.
2. Так как задача одномерная, то все дискретные уровни – не вырож-
денные.
3. В.ф. осциллятора, в соответствии с осцилляционной теоремой, должна иметь (n −1)узлов.
4. Так как U (x) – четная функция х, то в.ф. должна обладать опреде-
ленной четностью.
Динамика движения квантового осциллятора описывается одномерным стационарным уравнением Шредингера, которое мы запишем в виде:
d |
2 |
Ψ (x ) |
|
2m |
|
m ω |
2 |
x |
2 |
|
|
||||
|
+ |
|
|
|
|
Ψ = 0 . |
(22.4) |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
h |
E − |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для дальнейшего, введем безразмерные величины:
|
|
|
mω |
1 |
|
|
|
|||||
|
ρ |
= |
2 |
x |
, |
(22.5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|||
|
|
λ = |
2E |
. |
|
|
(22.6) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда уравнение (22.4) примет вид: |
|
|
|
|
hω |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d 2ψ |
+ |
( |
λ − ρ 2 |
ψ = 0 . |
(22.7) |
||||||
|
d ρ 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
Математическое решение последнего уравнения приведем в конце данного параграфа. Здесь укажем лишь окончательные результаты. Решения уравнения (22.7), удовлетворяющие стандартным условиям, существуют, если выполняется условие: λ = 2n +1, где n = 0,1,2,… Тогда, с учетом обозначения
(22.6), находим уровни энергии квантового осциллятора:
En |
|
|
|
1 |
|
; |
|
n = 0,1,2,... |
(22.8) |
|||
= hω n + |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сами же решения уравнения (22.7) имеют вид: |
|
|
||||||||||
|
|
(ρ)= Α |
|
|
|
− |
1 |
ρ |
2 |
|
(ρ), |
|
Ψ |
|
|
|
|
2 |
H |
|
(22.9) |
||||
n |
n |
e |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где нормировочная постоянная Аn равна:
A = 4 mω |
1 |
, |
(22.10) |
|
|
||||
n |
πh |
n!2n |
|
|
|
|
|
Hn (ρ) – полиномы n -ой степени, которые в математической литературе на-
зываются полиномами Чебышева-Эрмита. Укажем некоторые свойства этих полиномов. В общем случае, любой полином можно представить в виде про-
изводящей функции:
H |
n |
(ρ ) = (−1)n e ρ 2 |
d n |
e − ρ 2 . |
(22.11) |
|
d ρ n |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
50 |
|
|
|