с.м.чернов_квантовая механика

U (x)≈U (a)+ dUdx (x − a)= E + dUdx (x − a).

Тогда импульс можно записать в виде:

где λ = 2πph – длина волны де Бройля.

§ 36. Стационарная теория возмущения для невырожденных состояний дискретного спектра

Как уже отмечалось, точные решения УШ известны только для небольшого числа модельных силовых полей. Однако часто оказывается, что реальные физические системы не очень сильно отличаются от идеализированных систем, допускающих точное решение. В этих случаях приближенное решение задачи сводится к нахождению поправок к точному решению модельной задачи. По существу теория возмущения представляет собой метод последовательных приближений, позволяющих находить поправки любого порядка малости к собственным функциям и собственным значениям возмущённого гамильтониана.

Рассмотрим вначале стационарную теорию возмущения, когда спектр собственных значений энергии является дискретным и невырожденным.

Пусть гамильтониан H^ не зависит явно от времени и может быть представлен в виде:

где ˆ – гамильтониан задачи, допускающей точное решение, которое опи-

H0

сывается стационарным УШ:

денным. В соотношении (36.1) H^′ – оператор возмущения, который для на-

глядности можно представить в виде H^′ = λUfl , где Ufl – оператор того же

ˆ

порядка малости, что и H0 , а λ – малый безразмерный параметр. Критерий “малости”, будет определен ниже.

91

циентов cnk , которые по аналогии с разложением (36.4) можно записать в виде соответствующего ряда:

лее наглядно разложения (36.4) и (36.6) можно записать через малый параметр λ в виде:

где En(i) и cnk(i) величины одинакового порядка малости с соответствующими

величинами невозмущенной задачи. Тогда возмущенная волновая функция ψn (36.5) примет вид:

Подставляя указанные разложения в УШ, получаем:

Раскрывая скобки, сгруппируем члены одного порядка малости по λ .

92

Далее учтем, что для невозмущенной задачи в силу УШ (36.2):

ˆ ψ0 = ˆ ψ 0

H0 n E0 n

Для дальнейшего, умножим все члены уравнения (36.9) слева на ψm0* и проин-

тегрируем по всему пространству. При этом учтем свойство ортонормированности невозмущенных волновых функций

∫ψm0*ψk0 dυ = δmk ,

и введем обозначения:

называемые матричными элементами оператора ˆ , взятыми по невозму-

U

щенным волновым функциям, которые, по предположению, также считаются известными. Тогда уравнение (36.9) примет вид:

λ(∑Cnk(1)δmk Ek0 +Umn ) +

Очевидно, в суммах по k , содержащих δmk , отличны от нуля только слагаемые с k = m , следовательно (36.11) примет вид:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях λ , получим ряд алгебраических уравнений:

k

……………………………………………

93

На практике достаточно найти лишь линейные поправки к волновой функции и квадратичные к уровням энергии. С этой целью положим в (36.13) m = n, тогда

Таким образом, поправка первого порядка к энергии равна

и представляет собой среднее значение от оператора возмущения, взятому по невозмущенным волновым функциям.

Пусть теперь в (36.13) m ≠ n , тогда находим

Случай с m = n требует особого рассмотрения. Покажем, что из условия нормировки волновой функции получается Cnn(1) = 0 . Действительно:

Откуда Cnn(1) +Cnn(1)* = 0 . Так как волновая функция определена с точно-

стью до произвольного фазового множителя, то будем считать коэффициент

Cnn(1) действительным числом. Тогда Cnn(1) = 0 . Следовательно, в первом приближении

а для волновой функции с точностью до членов, линейных по возмущению, окончательно получаем:

Для нахождения квадратичной поправки к энергии положим в уравне-

нии (36.14) m = n, и учтем, что Cnn(1) = 0 :

94

Учитывая, что Ukn =Unk* , находим квадратичную поправку к энергии:

Окончательно волновая функция с точностью до линейных членов, а энергия с поправками, квадратичными по возмущению, равны:

Замечание 1. Метод теории возмущения дает хорошие результаты, если ряды быстро сходятся. Необходимым условием является малость каждой следующей поправки по сравнению с предыдущей. Из (36.19), в частности, следует, что условием применимости теории возмущений является неравенство:

то есть недиагональные матричные элементы оператора возмущения малы по сравнению с разностями соответствующих энергий невозмущенной задачи.

Замечание 2. По определению энергия основного уровня минимальна. Если n соответствует основному уровню, тогда En0 < Em0 , и следовательно поправка

второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна.

§ 37. Стационарная теория возмущения при наличии вырождения

En0 соответствует k различных собственных функций ψn01,ψn02 K,ψnk0 . Задача состоит в том, чтобы найти приближенно изменения уровней энергии и вол-

новых функций при включении дополнительного возмущения ˆ ' .

H

95

Для простоты, не умаляя общности, рассмотрим случай двукратного вырождения, когда невозмущенной энергии E0 соответствует две собствен-

ные функции ψ1 и ψ2 . Предполагается, что эти функции удовлетворяют условию ортонормированности:

При включении возмущения ˆ ' , естественно, изменяются как уровни

H

энергии E0 , так и волновые функции ψ1 и ψ2 . В этом случае движение частицы также будет описываться стационарным УШ с полным гамильтонианом

ˆ = ˆ + ˆ '

H H0 H :

Для практических приложений найдем приближенно волновую функцию системы в нулевом приближении, а уровни энергии с точностью до членов, линейных по возмущению. В этом приближении можно записать:

Таким образом, задача сводится к нахождению трех параметров: C1,C2 и E' . Для их определения подставим разложения (37.5) в уравнение (37.4):

Раскрывая скобки и учитывая условия (37.3), получаем:

Учитывая условие ортонормированности (37.2), и вводя обозначения

для матричных элементов от оператора возмущения ˆ ' , взятых по невозму-

H

щенным волновым функциям:

96

получим систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов C1,C2 вида:

Система однородных уравнений (37.7) имеет нетривиальное решение, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных равен нулю:

В свою очередь уравнение (37.8) является алгебраическим уравнением

относительно искомой поправки E' . Данное условие (37.8) получило название векового или секулярного уравнения. Раскрывая определитель (37.8) получим:

(H11' − E' )(H22' − E' ) − H12' H21' = 0 ,

приходим к квадратному уравнению относительно E' :

E'2 − E' (H11' + H22' ) +(H11' H22' − H12' 2 ) = 0 .

Решение последнего уравнения можно записать в виде:

но корни векового уравнения E1' , E2' .

В общем случае k -кратно вырожденных уровней линейные поправки E' находятся как решения векового уравнения вида:

С математической точки зрения уравнение (37.10) представляет собой уравнение k −гопорядка относительно E' . Решив его, мы получаем, вообще говоря, k различных корней E1' , E2' KEk' . Это означает, что включение допол-

рые корни векового уравнения (36.10) совпадают, так что число различных корней s < k . Следовательно, вырожденный уровень E0 расщепляется на s < k

подуровней, и вырождение в системе снимается лишь частично. Физически это соответствует тому, что возмущение сохраняет некоторую симметрию задачи.

Зная корни векового уравнения, и подставляя их последовательно в систему алгебраических уравнений типа (37.7), можно найти соответствующие коэффициенты Ci , и тем самым определить волновые функции каждого состояния в нулевом приближении.

98

ГЛАВА V

Основы теории многих частиц

§ 38. Принцип тождественности одинаковых микрочастиц

Частицы называются тождественными, если свойства системы одинаковых частиц не изменяются при перестановке любой пары частиц.

Рассмотрим общие свойства волновой функции системы из N тождественных частиц. Пусть qi – набор всех параметров i -ой частицы. Тогда волно-

вая функция будет зависеть от всех параметров частиц, т.е.

ψ =ψ (q1,q2 ,....,qN ) .

Таким образом принцип тождественности требует, чтобы волновая функция системы одинаковых частиц должна быть собственной функцией оператора перестановки.

Найдем собственные значения оператора Pik . Для этого подействуем

Pik на последнее равенство:

Отсюда следует важный принцип: в природе реализуются лишь такие состояния, волновые функции которых либо симметричны, либо антисимметричны относительно перестановки тождественных частиц.

Можно доказать, что это свойство симметрии является интегралом движения, т.е. никакое взаимодействии не может нарушить свойство симмет-

рии. Для того необходимо доказать, что оператор Pik коммутирует с H . Для простоты, рассмотрим систему из двух тождественных частиц.

Подействуем оператором перестановки P на H , и получим: 99