Lektsii_PDF / Лекция_8

Лекция № 8

Проекция точки и вектора на ось

M

X

M '

O

P

Осью называется прямая, для которой указано направление.

Проекцией точки на ось называется основание перпендикуляра из точки M на ось OX . Плоскость P OX . Следовательно, точка M ' является проекцией точки M на ось OX .

Рассмотрим отрезок AB и ось u . Спроектируем точки A и B на ось u , то есть проведем плоскости α и β , проходящие соответственно через точки A и B ортогонально u :

Геометрической проекцией вектора AB на ось u называется вектор A 'B' ,

где A' есть проекция точки A , а B' есть проекция точки B на ось u . Обозначается:

Алгебраической проекцией вектора AB на ось u называется число, равное длине вектора A 'B' , взятое со знаком «+», если направление вектора A 'B' и оси u совпадает, знак «-» - в противном случае. Обозначается:

Углом наклона вектора AB к оси u называется угол ϕ , образованный двумя лучами, приложенными к точке M , один из которых совпадает с направлением вектора AB , а другой – с направлением оси u .

Теорема 8.1.

1

Алгебраическая проекция вектора a на произвольную ось u

вектора проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения с осями координат обозначим A, B,C .

Вектор d = OD = OA + OB + OC , где OA,OB,OC - геометрические проекции на оси

OX ,OY ,OZ . Вектор OA коллинеарен орту i , OB коллинеарен орту j , OC коллинеарен орту k . Поэтому на основании теоремы о коллинеарных

2

z = прOZ d . доказательство завершено.

Теорема 8.3. (справедлива для геометрических и алгебраических проекций)

1)Проекция суммы двух векторов на некоторую ось u равна сумме проекций этих векторов на ось u .

2)Проекция на некоторую ось u произведения вектора на

вещественное число равна произведению числа на проекцию этого вектора на ось u .

Доказательство. Совместим ось u с декартовой системой координат – осью

B

C

A

u

A' C' B'

3

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

определение скалярного произведения:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, ориентированную по первому вектору.

Физический смысл скалярного произведения

F

Пусть a - смещение материальной точки O , F - сила, действующая на точку O . Тогда (a, F ) - работа силы F : (a, F ) = a F cosϕ .

Геометрические свойства скалярного произведения

Теорема 8.4.

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

направление произвольное, то можно считать, что a ^ b .

Если a ¹ 0 и b ¹ 0 , то cosϕ = 0 и тогда ϕ = π .

2

Теорема 8.5.

Два ненулевых вектора образуют :

1.острый угол между собой тогда и только тогда, когда (a,b) > 0 ;

2.тупой угол между собой тогда и только тогда, когда (a,b) < 0 .

4

Алгебраические свойства скалярного произведения

1. (a,b) = (b, a)

Доказательство: (a,b) = ab cosϕ = ba cosϕ = (b, a)

2. (αa,b) = α (b, a)

Доказательство: (αa,b) = b прb (αa) = α b прb (a) = α (a,b)

3. (a + b, c) = (a, c) + (b, c)

Выражение скалярного произведения в декартовой системе координат

Пусть заданы два вектора: a = {x1, y1, z1}, b = {x2 , y2 , z2 }.

Теорема 8.6.

В декартовой системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений соответствующих координат:

(a,b) = x1x2 + y1 y2 + z1z2 .

Доказательство:

(a,b) = (x1i + y1 j + z1k, x2i + y2 j + z2k ) = x1x2 (i,i) + x1 y2 (i, j) + x1z2 (i, k ) + y1x2 ( j,i) + y1 y2 ( j, j) + y1z2 ( j, k )+ z1x2 (k,i) + z1 y2 (k, j) + z1z2 (k, k ).

Поскольку согласно четвертому свойству: (i,i) = 1,( j, j) = 1,(k, k ) = 1, а по теореме 8.4. из ортогональности векторов : (i, j) = 0, (i, k ) = 0,( j,i) = 0 , ( j, k ) = 0, (k,i) = 0,(k, j) = 0 , то

последняя сумма равна x1x2 + y1 y2 + z1z2 . Таким образом получили:

(a , b ) = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2 .

Следствие 1.

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0 ,

где a = {x1, y1, z1}, b = {x2 , y2 , z2 }.

Следствие 2. Если a = {x1, y1, z1}, b = {x2 , y2 , z2 }, то угол между ними вычисляется

5