Lektsii_PDF / Лекция_3

Лекция № 3

Обратная матрица.

Рассмотрим квадратную An и единичную матрицы En : AE = EA = A .

Матрица B называется правой обратной матрицей по отношению к матрице A , если произведение AB = E .

Матрица C называется левой обратной матрицей по отношению к матрице A , если произведение CA = E .

Покажем, что если матрицы B и C существуют, то они совпадают. Изсочетательного свойства произведения матриц вытекает:

C = CE = C( AB) = (CA)B = EB = B .

Присоединенной матрицей AV называется матрица, транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A .

дополнения элементов i -го столбца матрицы A , деленных на ее определитель. Построенная матрица B является правой и левой обратной матрицей по отношению к матрице A . Для доказательства достаточно умножить матрицу A на B справа и слева и получить в результате единичную матрицу E :

1

разложения определителя по строкам и четвертое свойство определителя. Доказательство завершено.

В силу доказанной теоремы в последующем будем вести разговор об одной обратной

матрице и обозначать ее A−1 : AA−1 = A−1 A = E .

Квадратная матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной матрицей, в противном случае – невырожденной. У вырожденной матрицы не

Ранг и базисный минор матрицы.

Строки a1 , a2 ,...an ; b1,b2 ,...bn ; c1,c2 ,...cn матрицы A называются линейно-зависимыми,

если найдутся числа α , β ,...γ не все равные нулю, что будут справедливы равенства:

Строки, не являющиеся линейно-зависимыми, являются линейно-независимыми. Это означает, что равенства (4.1) будут справедливы только в том случае, если все числа α , β ,...γ равны нулю.

Теорема 4.1. Для того, чтобы строки a1 , a2 ,...an ; b1,b2 ,...bn ; c1,c2 ,...cn матрицы A были

2

линейно-зависимыми необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией других.

Доказательство.

( ) Строки линейно-зависимы, следовательно выполняется равенство (4.1). Пустьα ¹ 0 ,

равенстве один из коэффициентов не равен нулю, поэтому в соответствии с определением строки являются линейно-зависимые.

Минором k -го порядка матрицы A называется определитель k -го порядка, элементы которого стоят на пересечении k столбцов и k строк матрицы k ≤ min{m, n}.

Пусть A имеет хотя бы один ненулевой элемент.

Число r называется рангом матрицы, если выполняются следующие условия:

1.существует минор r -го порядка M r ¹ 0 ;

2.все миноры более высоких порядков M r +1 , M r+2 ...., если существуют равны нулю.

То есть рангом r называется максимальный порядок миноров отличных от нуля. Из этого следует такое правило определения ранга матрицы:

1.переходить от вычисления минора меньших порядков к минорам высших порядков;

2.если найден отличный от нуля минор k -го порядка, то требуется вычислить все окаймляющие его миноры k + 1-го порядка ( то есть содержащие в себе). Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k .

Пусть ранг матрицы A равен r . Минор r -го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором матрицы. В матрице может быть несколько базисных миноров.

Пример. Найти ранг и базисный минор матрицы:

порядка в поисках первого, отличного от нуля. Для этого необходимо перебирать строки и столбцы, не участвовавшие в миноре второго порядка. Пусть таким минором

порядка в поисках первого, отличного от нуля. Для этого необходимо перебирать строки и столбцы, не участвовавшие в миноре третьего порядка:

3

Строки и столбцы матрицы A , на пересечении которых находятся элементы базисного минора, называются базисными.

Теорема 3.2. (о базисном миноре)

1.Базисные строки (столбцы) матрицы A являются линейно-независимыми.

2.Любую строку (столбец) матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных строк (столбцов)

Доказательство.

1.Предположим противное утверждение: базисные строки являются линейно- зависимыми. Тогда на основании теоремы 3.1. одна из этих строк является линейной комбинацией других. Вычитая из этой строки линейную комбинацию других строк, получим нулевую строку. В этом случае содержащий эту строку базисный минор, который является определителем, равен нулю. Получили противоречие: по определению базисный минор не равен нулю.

2.Не нарушая общности, можно считать, что базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу, то есть на пересечении первых r строк и первых r столбцов.

Построим определитель, добавив k -ую строку и j -ый столбец матрицы A к ее

базисному минору:

Здесь j, k могут быть любыми из диапазонов:1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ k ≤ m , в том числе

совпадать с номерами строк и столбцов базисного минора. Покажем, что этот определитель равен 0:

1)пусть j ≤ r , и/или k ≤ r . В этом случае определитель равен нулю, как имеющий 2 одинаковых строки и/или две одинаковых столбца соответственно.

2)пусть j > r и k > r . В этом случае этот определитель равен нулю, как минор

4

Поскольку индекс j может принимать любые значения: 1 ≤ j ≤ n , то последнее

равенство означает, что любую строку матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных строк.

Выполняя разложение этого определителя по элементам последней строки можно аналогично доказать, что любой столбец матрицы можно представить в виде линейной комбинации ее базисных столбцов.

Теорема 3.3. Максимальное число линейно-независимых строк матрицы равно максимально-независимому числу столбцов и равно рангу матрицы A .

Добавление в это равенство слагаемых с нулевыми множителями не изменит его. Поэтому справедливо:

akj = λ1a1 j + λ2a2 j + ... + λr arj + λi aij + ... + λmamj , где множители λi = 0,...λm = 0 , а

индексы принимают значения: i > r,i ¹ k, j =1, n . Последнее равенство означает, что k - ая строка является линейной комбинацией остальных строк.

(Ü). Строки линейно-зависимы. Следовательно, одна из них выражается через линейную комбинацию остальных. Вычитая из этой строки линейную комбинацию остальных строк, получаем нулевую строку. Согласно свойству определителя, такой определитель равен 0.

5