2 Вероятностные оценки ряда наблюдений

Законы распределения. При выполнении повторных измерений одной и той же измеряемой величины легко убедиться, что ре­зультаты отдельных измерений отличаются друг от друга. Это отличие объясняется действием погрешностей, являющихся, как было отмечено, случайными величинами. Полным описанием слу­чайной величины, а следовательно и погрешности, является ее закон распределения. Этим законом распределения и определяется характер появления различных результатов отдельных измерений в ряду наблюдений.

На практике встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных зако­нов распределения погрешностей является нормальный закон (Гаус­са).

Математически нормальное распределение случайных погреш­ностей может быть представлено формулой:

() = [1/σ(2)^1/2] x (exp -²/2σ²), (1)

где () – плотность вероятности случайной погрешности ;

σ – среднеквадратичное отклонение.

Характер кривых, описанных уравнением (1) для двух значений σ, показан на рисунке Б.1. Из этих кривых видно, что чем меньше σ, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т.е. тем точнее выполнено измерение.

Основные характеристики законов распределения. Основными характеристиками законов распределения являются математиче­ское ожидание и дисперсия. Математическое ожидание ряда наблю­дений есть величина, относительно которой рассеиваются резуль­таты отдельных измерений.

Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математи­ческого ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Следо­вательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в едини­цах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве харак­теристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии с положительным знаком и выражаемое в единицах измеряемой величины.

Рисунок Б.1 – закон нормального распределения случайных погрешностей

Оценки основных характеристик ряда наблюдений. Обычно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений неизвестны. В этом случае их приходится оценивать по результатам полученного ряда наблюдений.

Оценка математического ожидания ряда наблюдений. Как сле­дует из теории вероятностей, оценкой математического ожидания ряда наблюдений может служить среднее арифметическое результа­тов отдельных наблюдений:

А_ср = (а₁ + а₂ + …..+ а_n)/n = /n, (2)

Где а₁, а₂, … , а_n – результаты отдельных наблюдений; n – число наблюдений.

Отклонение между каждым из отдельных значений и средним арифметическим (разности ₁ = а₁ – А_ср; ₂ = а₂ – А_ср; … _n = а_n - А_ср) называется случайным отклонением результата на­блюдения (или остаточной погрешностью) и может иметь как поло­жительный, так и отрицательный знак.

Одним из свойств среднего арифметического является то, что алгебраическая сумма остаточных погрешностей равна нулю, т. е.

Σ_i = 0; этим следует пользоваться для контроля правиль­ности подсчета А_ср. При неограниченно большом числе наблюде­ний А_ср стремится к математическому ожиданию ряда наблюдений.

Оценка дисперсии ряда наблюдений, согласно теории вероят­ностей, может быть выражена через остаточные погрешности фор­мулой

S² = (₁² + ₂² + … + _n²)/(n – 1) = /(n – 1),(3)

где _n = а_n - А_ср

Оценкой среднего квадратического отклонения ряда наблюде­ний будет

, т.е. S с положительным знаком.

При неограниченно большом числе наблюдений (практически при

n > 30) оценки S² и S совпадают соответственно с дисперсией и средним квадратическим отклонением ряда наблюдений.