Zaslavky-Akopyan

С помощью теоремы о пучке коник можно доказать следующий красивый факт.

a Теорема 3.11 (о четырех кониках). Пусть даны три коники a1,

2, a3, и пусть P1, Q1, P1′ , Q′1 – точки пересечения коник a2 и a3; P2, Q2, P2′ , Q′2 – точки пересечения коник a1 и a3; P3, Q3, P3′ , Q′3 – точки пересечения коник a2 и a1. Тогда если точки P1, Q1, P2, Q2, P3, Q3

Доказательство. Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.

Теорема 3.12 (о трех кониках). Пусть три коники имеют две общие точки. Тогда их общие хорды, проходящие через остальные точки пересечения каждой пары, пересекаются в одной точке (рис. 3.29).

Для доказательства достаточно перевести общие точки коник в точки пересечения бесконечно удаленной прямой с окружностями. Тогда все три коники перейдут в окружности и утверждение теоремы будет следовать из существования радикального центра.

Пусть теперь a0 – коника, проходящая через точки Pi, Qi, Fi(x, y)= = 0 – уравнение коники ai. Так как вырожденная коника, состоящая из прямых P2P3 и Q2Q3, принадлежит одному пучку с a0, a1, можно считать, что ее уравнение имеет вид F0 = F1. Аналогично уравнениями коник, состоящих из прямых P1Q1, P3Q3 и P1Q1, P2Q2, будут соответственно уравнения F0 = F2 и F0 = F3. Следовательно, на всей прямой P3Q3 выполняется равенство F1 = F2. Так как оно выполнено и для точек P3′ , Q′3, оно является уравнением вырожденной коники, состоящей из прямых P3Q3 и P3′ Q′3. Соответственно, уравнением коники, состоящей из прямых P2Q2 и P2′ Q′2, будет уравнение F1 = F3, а из прямых P1Q1 и P1′ Q′1 – уравнение F2 = F3. Таким образом, эти три коники принадлежат одному пучку. Три точки, задающие этот пучок, находятся

90 Глава 3. Проективные свойства коник

изa теоремы о трех кониках, примененной к тройкам a0, a1, a2; a0, a1, 3; a0, a2, a3: это точки пересечения троек прямых P1Q1, P2Q2, P3′ Q′3;

P1Q1, P3Q3, P2′ Q′2; P2Q2, P3Q3, P1′ Q′1. Значит, четвертая точка принадлежит всем прямым Pi′Q′i. Аналогичными рассуждениями доказыва-

ется обратное утверждение: если каждая из четырех троек прямых

P1Q1, P2Q2 и P3′ Q′3; P1Q1, P3Q3 и P2′ Q′2; P2Q2, P3Q3 и P1′ Q′1; P1′ Q′1, P2′ Q′2

и P3′ Q′3 пересекается в одной точке, то точки P1, Q1, P2, Q2, P3, Q3 (а также P1, Q1, P2′ , Q′2, P3′ , Q′3 и две аналогичные шестерки) лежат на одной конике. Воспользовавшись принципом двойственности, получаем следую-

щие утверждения.

Теорема 3.13 (двойственная к теореме о трех кониках). Пусть три коники касаются двух заданных прямых. Тогда точки пересечения общих касательных, отличных от заданных прямых, к каждой паре из них лежат на одной прямой (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Теорема 3.14 (двойственная к теореме о четырех кониках). Если две из общих касательных к каждой паре из данных трех коник касаются одной и той же коники, то точки пересечения двух других касательных к каждой паре лежат на одной прямой (рис. 3.31).

Приведем некоторые важные свойства пучков.

Теорема 3.15. Пусть A, B, C, D – четыре различные точки, X, Y, Z – точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, AD и BC, P – точка, отличная от X, Y, Z. Тогда поляры точки P относительно всех коник пучка, заданного точками A, B, C, D, проходят через одну

точку.

Отметим интересный частный случай. Если точки A, B, C, D образуют ортоцентрическую четверку (т. е. каждая точка является ортоцентром треугольника, образованного остальными), то полученная точка изогонально сопряжена точке P относительно треугольника

XYZ.

Действительно, поляра точки P относительно вырожденной кривой, являющейся объединением прямых AB и CD, – это прямая, сим-