Zaslavky-Akopyan

62 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии

Упражнение 3. Докажите этот факт с помощью «выхода» в трехмерное пространство.

Решение. Рассмотрим пересекающееся семейство сфер, пересекающих нашу плоскость по окружностям из этого пучка. Эти сферы также образуют пучок. При инверсии эти сферы также переходят в сферы, причем пересекающиеся по некоторой окружности. Следовательно, они будут пересекать нашу плоскость опять же по пучку.

Пучок окружностей обладает еще одним очень важным свойством.

Теорема 2.12. Пусть даны две окружности w1 и w2. Геометри-

ческим местом таких точек, что отношение их степеней относительно этих двух окружностей постоянно, является окружность, принадлежащая пучку, образованному окружностями w1 и w2.

точек, что это отношение равно |k |, будет две, надо выбрать ту, у которой «знак» соответствующий). Тогда по теореме Фалеса точка X будет проекцией точки P на прямую AX, а значит, она будет лежать на окружности с диаметром AP. Обратными рассуждениями легко показать, что для любой точки на этой окружности отношение степеней точек относительно w1 и w2 равно k.

Для того чтобы доказать это утверждение для непересекающихся окружностей, опять применим идею «выхода» в трехмерное пространство. Пусть даны две пересекающиеся сферы, пересекающие нашу плоскость по этим двум окружностям. Проводя аналогичные рассуждения, показываем, что геометрическим местом таких точек, что отношение их степеней относительно этих двух сфер равно k, есть

64 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии

точки A0, должна совпадать с касательной, проведенной из точки An к этой окружности (предполагается, что мы всегда проводим касательные в нужную сторону). А значит, и точки их пересечения с w0 должны совпадать, а это точки B0 и Bn.

Пусть прямые A0A1 и B0B1 касаются окружности w1 в точках X и Y соответственно (рис. 2.41). Точку пересечения этих прямых обозначим через Z. Треугольник XZY равнобедренный (так как X

иY – это просто касательные, проведенные из точки Z к окружности w1). Следовательно, углы X и Y в этом треугольнике равны. Кроме того, равны углы B1A1A0 и B1B0A0. Таким образом, треугольники XQA1 и YPB0 подобны, где P и Q – это точки пересечения прямой XY с отрезками A0B0 и A1B1. Следовательно, углы PQA1 и QPB0 равны, а значит, существует окружность w′, касающаяся отрезков A0B0

иA1B1 в точках P и Q соответственно.

w1 A0

w′

w0

Рис. 2.41

Теперь докажем, что она принадлежит нашему пучку. Для этого достаточно доказать, что окружность w0 принадлежит пучку, образованному окружностями w1 и w′.

Покажем, что отношения степеней точек A0, A1, B0 и B1 относительно w1 и w′ равны. Легко понять, что эти отношения равны соот-

Аналогично показывается, что отрезки AiBi и Ai+1Bi+1 будут касаться одной и той же окружности нашего пучка. Легко понять, что отрезки AiBi могут касаться только одной такой окружности. Поэтому эта окружность одна и та же для всех отрезков AiBi, и это w′. Теорема Понселе означает, в частности, что если многоугольник вписан в одну окружность и описан около другой, то его можно «вращать» между этими окружностями. При этом каждая диагональ многоугольника касается окружности, соосной с описанной и вписанной

(рис. 2.42).

Рис. 2.42

Помимо теоремы Понселе, свойства радикальных осей позволяют доказать также теорему Брианшона, на этот раз в общем виде. Но сначала сформулируем ее.

Теорема 2.14 (Брианшон). Пусть прямые li, i = 1, ..., 6, касаются одной коники, Aij – точки пересечения прямых li и lj . Тогда прямые A12A45, A23A56 и A34A61 пересекаются в одной точке.

66 Глава 2. Некоторые факты классической геометрии

Доказательство. Проективным преобразованием переведем конику в окружность. Будем считать, что мы имеем дело с шестиугольником, описанным вокруг окружности, и нужные нам прямые – это его главные диагонали. Следующие рассуждения легко переносятся на случай, если прямые касаются окружности в другом порядке.

Итак, пусть дан описанный шестиугольник ABCDEF (рис. 2.43). Надо доказать, что AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

w1

B C

w2

D

A

E

F

w3

Рис. 2.43

Рассмотрим окружности w1, w2 и w3, касающиеся пар прямых AB и DE, BC и DE, CD и FA соответственно, причем так, что точки касания находятся на расстоянии a от соответствующих точек касания сторон шестиугольника с окружностью (обозначим их через A1, B1,

..., F1). Тогда степень точки A относительно окружностей w1 и w3 равна −(AA1 + a)2. Значит, она лежит на радикальной оси этих двух окружностей. То же самое верно и для точки D. Таким образом, AD – это радикальная ось окружностей w1 и w3. Аналогично доказывается, wчто BE – радикальная ось окружностей w1 и w2, а CF – окружностей

2 и w3. Следовательно, AD, BE и CF пересекаются в одной точке, а именно в радикальном центре окружностей w1, w2 и w3.

Г Л А В А 3

Проективные свойства коник

§ 3.1. Двойное отношение четырех точек кривой. Параметризация.

Обратные теоремы Паскаля и Брианшона

Проективная эквивалентность коник означает, что все свойства окружности, о которых говорилось во введении, остаются верными и для коник. В частности, для четырех точек коники A, B, C, D двойное отношение прямых XA, XB, XC, XD не зависит от выбора точки X на конике. Это отношение называется двойным отношением точек A, B, C, D. Очевидно, что при проективных преобразованиях двойные отношения сохраняются.

Зафиксируем некоторую точку P коники и не проходящую через нее прямую l. Каждой точке X коники поставим в соответствие точку X′ пересечения прямой PX с l (точке P соответствует точка пересечения l с касательной к конике). Очевидно, это соответствие взаимно однозначно и сохраняет двойные отношения. Если теперь стандартным образом установить соответствие между точками прямой l и действительными числами, то получим параметризацию коники. Нетрудно убедиться, что при такой параметризации координаты точки X являются рациональными функциями параметра.

Теорема 3.1 (обратная теорема Паскаля).

Пусть даны такие точки Xi, i = 1, ..., 6, что точки пересечения прямых X1X2 и

X4X5, X2X3 и X5X6, X3X4 и X6X1 лежат

на одной прямой. Тогда существует коника, проходящая через все точки Xi.

Доказательство. Воспользуемся тем фактом, что через любые пять точек общего по-

§ 3.2. Полярное соответствие. Принцип двойственности

Пусть даны некоторая коника и точка A. Рассмотрим произвольное проективное преобразование, переводящее данную конику в окружность. Пусть A′ – образ точки A при этом преобразовании, a′ – поляра точки A относительно окружности, a – образ прямой a′ при обратном преобразовании. Тогда прямая a может быть построена следующим

a называется полярой точки A, а A – полюсом прямой a. Очевидно, что все сфор-

мулированные выше свойства полярного соответствия сохраняются. Отметим, что если прямая p является полярой точки P, а произвольная проходящая через P прямая пересекает p в точке Q и конику в точках A, B, то (PQ; AB) = 1. Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда коника является окружностью, а одна из

точек P, Q бесконечно удаленная (рис. 3.7).

В частности, если коника является эллипсом или гиперболой, то середины всех хорд, параллельных фиксированной прямой, лежат на прямой, проходящей через центр коники (направления, задаваемые этой прямой и прямой, параллельной хордам, называются сопряженными относительно коники), а если коника – парабола, то на прямой,