Zaslavky-Akopyan

35.Пусть точки лежат на конике. Сделаем проективное преобразование, переводящее прямую A′B′ в бесконечно удаленную прямую, а затем аффинным преобразованием добьемся, чтобы точка C′ была ортоцентром треугольника ABC. Тогда коника, проходящая через данные точки, будет равносторонней гиперболой, т. е. направления на A′ и B′ будут перпендикулярны. Так как C′ – ортоцентр треугольника ABC, существует окружность (возможно, мнимая), относительно которой треугольник ABC автополярен. В силу перпендикулярности прямых A′C′ и B′C′ треугольник A′B′C′ также будет автополярен относительно этой окружности.

Обратно, пусть треугольники ABC и A′B′C′ автополярны относительно некоторой коники. Переведем эту конику в окружность, а C′ –

вее центр. Тогда точка C′ будет ортоцентром треугольника ABC, а A′, B′ – бесконечно удаленными точками, направления на которые перпендикулярны. Следовательно, равносторонняя гипербола, проходящая через A, B, C, C′, с асимптотами, параллельными этим направлениям, будет искомой коникой.

36.Пусть некоторая коника, проходящая через точки A, B, C, O, пересекает бесконечно удаленную прямую в точках P, Q. Аналогично предыдущей задаче доказывается, что треугольник POQ автополярен относительно той же коники a, что и треугольник ABC. Значит, неподвижными точками инволюции, порождаемой на бесконечно удаленной прямой пучком ABCO, будут точки пересечения с a. Но это и означает, что проходящая через эти точки серединная коника гомотетична a.

37.Указание. Из теоремы Брианшона следует, что диагонали описанного около коники четырехугольника и прямые, соединяющие точки касания коники с его противоположными сторонами, пересекаются в одной точке. Применив это следствие к четырехугольнику, образованному сторонами треугольника ABC и бесконечно удаленной прямой, получим утверждение задачи.

38.Ответ. Центром гомотетии является центр тяжести треугольника, а ее коэффициент равен 2.

39.Из предыдущей задачи следует, что середины отрезков, соединяющих центр тяжести с вершинами, лежат на эллипсе Штейнера. Следовательно, этот эллипс имеет с коникой центров (то, что это коника, следует из теоремы 3.17) шесть общих точек – середины сторон и указанных отрезков.

40.Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Так как ABC – ортотреугольник треугольника IaIbIc, поляры точки P относительно равносторонних гипербол, проходящих

через точки Ia, Ib, Ic, проходят через P′. По теореме 3.9 прямые AA′, BB′, CC′ пересекаются в точке, являющейся полюсом прямой PI, где

132 Решения задач

I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC, относительно коники IaIbIcIP. Но эта коника является равносторонней гиперболой, так что полученная точка лежит на PP′.

41.Любая точка плоскости может быть перспектором вписанной в данный треугольник коники, причем соответствующая коника единственна. Ясно, что при перемещении перспектора коника меняется непрерывно. Следовательно, перспекторы эллипсов лежат внутри описанного эллипса Штейнера, а перспекторы гипербол – вне. Применим теперь теорему 4.7. При изотомическом сопряжении внутренность треугольника перейдет в себя, а точки сегмента, ограниченного, например, стороной AB треугольника и стягиваемой ей дугой эллипса, не содержащей третьей вершины C, – в точки угла, вертикального к углу C. Соответственно множеством центров вписанных эллипсов будет внутренность серединного треугольника и три угла, вертикальных к его углам.

42.Пусть X, Y – точки касания эллипса с параллельными касательными, T – точка касания эллипса и окружности, U, V – точки пересечения касательной к эллипсу в точке T с параллельными касательными, U′, V′ – точки пересечения параллельных касательных с какой-то другой касательной к эллипсу. Тогда, рассуждая так же, как при доказательстве последней теоремы, получаем, что XU + UV + VY < XU′ + U′V′ + V′Y, т. е. точки U, V лежат на эллипсе, софокусном с данным. При этом OU и OV, где O – центр окружности,– касательные к этому эллипсу, а UOV = 90◦. Следовательно, точка O лежит на окружности с центром в центре эллипса, радиус которой, очевидно, равен сумме его полуосей.

Предметный указатель

асимптоты гиперболы 8

гипербола 8 Аполлония 117 Кипера 107

равносторонняя 8, 101 Фейербаха 105

двойное отношение 35, 36 директриса 23

изогональное сопряжение 16, 44, 90 изотомическое сопряжение 58, 91 инверсия 31 инволюция 96

коника 8, 22 коническое сечение 22

кривая второго порядка 8, 10

ось гиперболы действительная 8

эллипса большая 7 малая 7

парабола 8, 24

Список литературы

[1]Александров П. С.

Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968.

[2]Яглом И. М.

Геометрические преобразования, Т. 1, 2. М.: Гостехиздат, 1955–1956.

[3]Заславский А. А.

Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003.

[4]Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л.

Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1978.

[5]Берже М.

Геометрия, Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.

[6]Кокстер Х. С. М.

Действительная проективная плоскость.

М.: Физматгиз, 1959.

[7]Гильберт Д., Кон-Фоссен С.

Наглядная геометрия.

М.: Наука, 1981.

[8]Емельянов Л. А., Емельянова Т. Л.

Семейство Фейербаха.

//Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 6. 2002. С. 78–92.

[9]Lemaire J.

L’hyperbole équilatère. Paris: Vuibert, 1927.

[10]Ehrmann J.-P., van Lamoen, F.

A projective generalization

of the Droz-Farny line theorem.

//Forum Geom. 2004. № 4. P. 225–227.

В книге использованы шрифты гарнитуры Школьная фирмы ParaType.

Эскизы иллюстраций выполнены А. В. Акопяном в свободно распространяемой программе Kig (KDE Interactive Geometry). При подготовке издания они были перерисованы в программе MetaPost.

А.В. Акопян

А.А. Заславский

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Технический редактор В. Ю. Радионов

Редактор Е. Ю. Бунькова Корректор О. А. Васильева

Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11 Тел. (495) 241–74–83

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография ”Наука“» 121099, Москва, Шубинский пер., 6