Гидростатика

Гидростатика - раздел гидромеханики, в котором изучаются свойства сплошной среды, находящейся в статическом равновесии. В этом случае можно утверждать, что

v = 0, =0,

где А - любой параметр рассматриваемой среды. Кроме того,

Система основных уравнений гидростатики выглядит следую­щим образом

(13)

где - плотность, р - давление, q - вектор теплового потока, а

F - массовая сила, т. е. сила, действующая на каждую частицу объ­ема (как правило, это сила тяжести).

Из второго уравнения системы (13) можно при некоторых предположениях получить соотношение между плотностью и дав­лением, что существенно облегчает решение многих задач. Пусть F - это консервативная сила, т. е. ее можно представить в виде

F = -grad U

Тогда второе уравнение системы (13) можно записать в виде

-gradU= grad p

(14)

Предположим, что плотность среды зависит только от давле­ния, т.е. = Ф( р). Такая среда называется баротропной. Введем следующую функцию

Легко проверить, что тогда

—grad p = grad Р.

Подставив полученное выражение в (14), можем записать

grad(U+ Р) = 0, U + Р = const.

Как правило, U = gz - потенциал силы тяжести. Таким образом,

gz + P = const.

(16)

Константа в правой части равенства определяется из начальных условий. Что же касается функции Р, то существует несколько баротропных процессов, для которых можно выписать ее значение.

1) Несжимаемая жидкость ( =const).

Р = p/.

(17)

2) Изотермический процесс ().

(18)

3) Адиабатический процесс (р/=)

(19)

где - некоторая константа, зависящая от вида жидкости или газа.

Подставляя какое-либо из выражений (17), (18) или (19) в фор­мулу (16), мы получим связь между плотностью, давлением и высо­той z. Рассмотрим пример использования подобной формулы.

Задача 3. Определить давление газовой смеси на высоте z = 5 км, если на высоте = З км = 37 кН/,1.24 кг/. Процесс изменения давления считается изотермическим.

Решение. Подставим формулу (18) в выражение (16). Получим

gz + In р = const.

Найдем константу из начальных условий

const = g + In ,

Подставим в полученное выражение числовые значения ,, и и вычислим

р = 19.18кН/.

Литература

[2] с. 83 -95,

[4] с. 78 - 87.

Гидродинамика идеальной жидкости

Модель идеальной жидкости предполагает отсутствие сил внутреннего трения. Основным уравнением динамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:

(20)

В некоторых случаях уравнение (20) может быть проинтегри­ровано. Предположим, что течение стационарное, массовая сила F

консервативна и жидкость баротропна. Тогда справедлив так назы­ваемый интеграл Бернулли:

= const,

где U - потенциал массовой силы, а Р может иметь вид (17), (18) или (19), в зависимости от исследуемого течения.

Рассмотрим решение задач по гидродинамике идеальной жид­кости.

Задача 4. Цилиндрический сосуд, заполненный жидкостью с плотностью = 2кг/, двигается поступательно с ускорени­ем а =3 м/, составляющим угол= 30° с горизонтом. Опреде­лить распределение давления в жидкости, а также уравнение сво­бодной поверхности, считая, что жидкость находится в равновесии, объем жидкости 1.2, площадь основания сосудаS = 0.79 , давление на свободной поверхности=100 кН/.

Рис. 3.

Решение. Расположим оси декартовой системы координат так, чтобы вектор ускорения а лежал в плоскости Oyz. Т. к. нам нужно определить давление, запишем уравнение (20) в виде

-grad p =

р= а = p(a cos a sink)= j + 3 • k ,

Запишем уравнения движения в координатном виде:

Таким образом, давление можно найти, вычислив криволиней­ный интеграл

=-15.59

где С - произвольная постоянная. На свободной поверхности, уравнение которой нам также надо найти, давление р = =Н/. Подставим это в полученное выражение.

-15.59 • у - 32.4z + С = ,

Мы получили уравнение свободной поверхности в виде урав­нения плоскости с точностью до произвольной постоянной. Зай­мемся теперь определением произвольной постоянной. Ее можно найти из условия, что объем жидкости при движении остается не­изменным. Вычислим объем с помощью двойного интеграла. Най­дем радиус основания сосуда.

Тогда

Подставляя значения V и R, получим, что С = 149.22 • .

Теперь можем записать окончательные выражения для функ­ции давления и для уравнения свободной поверхности.

р = -15.59 • 103у -32.4 z +149.22 • ,

z = -0.48 у + 1.52.

Задача 5. Цилиндрический сосуд с радиусом основания R=25 см заполнен жидкостью с плотностью = 2 •кг/. Объем жидкости 1.4. Сосуд вращается вокруг вертикальной оси с угло­вой скоростью 4 1/с. Определить распределение давления в сосуде и уравнение свободной поверхности, считая, что давление на по­верхности жидкости=100 кН/.

Рис. 4.

Решение. Снова воспользуемся уравнением (20). По определе­нию, скорость при вращении равна

Тогда

.

Аналогично предыдущей задаче, запишем уравнение (20) в ко­ординатном виде

Т.к. давление на свободной поверхности известно, можем запи­сать уравнение свободной поверхности

Это уравнение параболоида. Определим произвольную посто­янную из условия сохранения объема.

Подставляя значения V и R, получим, что С = 239.25-. В результате можем записать

p = 16 () - 19.6z + 239.25 ,

z = 0.82 + 7.1.

Задача 6. Определить силу действия атмосферного вихря на здание шириной 4 м, если циркуляция скорости в этом вихре Г = 3.1-/с, плотность воздуха=1.235 кг/, а расстоя­ние от здания до центра вихря 50 м. Площадь стены здания, обра­щенной к вихрю, равна 310 м . Среду считать несжимаемой.

Рис. 5.

Решение. Запишем интеграл Бернулли в этом случае

По условию задачи сохраняет постоянное значение. Кон­станту в правой части равенства можно выразить через значения скорости и давления на бесконечности. Тогда

(23)

Очевидно, = 0. Скорость v на расстоянии г от центра вих­ря вычисляется по формуле v = Таким образом

Стены здания находятся на расстоянии 50 м и 54 м от центра вихря. Давление на них, согласно формуле, будет

Результирующая сила давления равна

где S - площадь стены здания. Проведя вычисления, получим

R = 26.23 кН.

Задача 7. Газ плотностью = 1.16 кг/находится в радиаль­ном цилиндрически симметричном движении в слое высотой 1 км. Определить распределение давления в зависимости от расстоянияr и потока (расхода) воздуха Q , если = 98 кН/. Среду считать несжимаемой.

Рис. 6.

Решение. Запишем интеграл Бернулли в виде (23). В нашем случае

Подставив эти выражения в (23) и выразив давление p, полу­чим

Литература

[2] с. 48-153, с. 110-117, с. 144- 175, [3] с. 143 - 148,

[4] с. 88-99, с. 106- 110, с. 158- 162, [5] с. 160- 165.