Одобрена Ученым советом метеорологического

и океанологического факультетов

УДК 532

Методические указания по дисциплине Механика жидкости и газа»,

для высших учебных заведений, часть I «Гидромеханика» - СПб.:

изд. РГГМУ, 2004. - 32 с.

Составитель: В.В. Петрова, канд. физ.-мат. наук, ст. преподаватель РГГМУ

Рецензент: М.А. Рыдалевская, проф. СПбГУ

Ответственный редактор: В. А. Федотов, канд. физ.-мат. наук, доц. РГГМУ

© В.В. Петрова, 2004

о Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2004

ПРЕДИСЛОВИЕ

Механика жидкости или гидромеханика - это наука, которая изучает движение жидких и газообразных сред и их взаимодействие с обтекаемыми телами. При рассмотрении сред обычно используют модель сплошной среды, т.е. считается, что жидкость или газ запол­няет пространство без промежутков непрерывным образом. Каждой точке этого пространства можно поставить в соответствие ряд пара­метров (скорость движения, плотность, температуру, давление и т.д.).

Изучению гидромеханики предшествует изучение математики, в особенности векторной алгебры и математического анализа, а также физики, где следует обратить особое внимание на основные законы сохранения. Сама гидромеханика является основой для ди­намической метеорологии, динамики океана, теории климата и дру­гих специальных дисциплин.

Студент должен знать теоретические основы дисциплины, уметь решать задачи гидромеханики и проводить физическое обос­нование своего решения.

Литература

1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - М: Наука,

2. 1965,426 с.

3. Кочин Н.Е.., Кибель И.Я., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика - М: ГИМФЛ,

4. 1963, ч. 1,583 с.

5. Палагин ЭТ.. Славин И. А. Основы гидромеханики - Л: ЛГМИ, 1974, 244 с.

6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа - М: Наука, 1987, 840 с.

7. Седов Л.И. Механика сплошной среды - М: Наука, 1970, Т. 1, 492 с.

8. Программа дисциплины «Механика жидкости и газа» для высших учебных заведений - СПб.: Изд. РГГМУ, 2002 - 9с.

Введение

В гидромеханике приходится иметь дело с величинами различ­ной природы. Наиболее простым из них является скаляр - это про­сто число, соотнесенное определенной точке пространства. Скаляр­ная величина не меняет своего значения при переходе от одной сис­темы координат к другой.

Вектором называется расположенный в пространстве направ­ленный отрезок. Численное значение вектора называется модулем и равно его длине. Для определения вектора достаточно задать три его проекции , на координатные оси. При переходе от одной системы координат (х, у,z) или () к другой системе координат проекции вектораа на новые координатные оси изменят свое значение. Обозначим новые координаты . Как известно, при изменении системы координат может быть выписана таблица направляющих косинусовмежду новыми и старыми координатами. Компоненты вектора преобразуются по следующим формулам

Вектора можно складывать, вычитать и перемножать согласно правилам векторной алгебры.

Векторное поле определяется векторной функцией точки, т. е. это вектор, каждая компонента которого является функцией от ко­ординат. В координатной форме

Тензор второго ранга характеризуется таблицей из девяти ве­личин

компоненты которой при переходе от системы координат()к системе преобразуются по формулам

В гидромеханике также приходится исследовать изменение раз­личных параметров в зависимости от координат. В связи с этим вво­дятся в рассмотрение следующие дифференциальные операторы.

Градиент. Этот оператор применяется к скалярной функции и (х, у, z), дает в результате векторную функцию

В каждой точке вектор градиента направлен по нормали к по­верхности, определяемой функцией и (х, у, z), в сторону ее возрас­тания.

Дивергенция. Дивергенцией векторного поляна­зывается скалярная величина, определяемая по формуле

Ротор. Этот оператор применяется к векторному полю и дает в результате векторное поле

Многие из приведенных операторов и векторов широко приме­няются в кинематике жидкости.

Литература

[1] с. 5-59, с. 101-164.

[4] с. 9-30.

[5] с. 9- 15.

Кинематика жидкой среды

Общей задачей кинематики является описание движения среды безотносительно к причинам, вызвавшим это движение. Вследствие этого кинематика изучает главным образом свойства векторного поля скоростей. Мы будем рассматривать случай плоского движения, т. е. считаем, что

где х, у - координаты точки, t - время.

Траекторией частицы называется геометрическое место точек, через которые движущаяся частица последовательно переходит во времени. Поскольку траектория характеризует скорость одной час­тицы в разные моменты времени, она определяется следующей сис­темой уравнений:

(1)

Интегрируя и решая систему дифференциальных уравнений (1), мы получим бесчисленное множество решений. Для определе­ния произвольных постоянных должны быть дополнительно заданы условия

(2)

В таком случае мы получим траекторию, проходящую в мо­мент через точку.

Линией тока называется линия, у которой в данный момент времени в любой точке вектор скорости направлен по касательной к ней. Таким образом, линия тока определяет направление скоростей разных точек среды в один момент времени . Уравнение для определения линий тока запишется следующим образом

(3)

Уравнение (3) также дает бесчисленное множество решений, по­этому для нахождения конкретной линии тока следует задать точку , через которую она проходит в момент времени.

В общем случае траектории и линии тока не совпадают. Совпа­дают они только при стационарном течении, когда не зави­сят от времени.

Если мы выделим в жидкости некоторый малый объем и рас­смотрим его движение, то с течением времени этот объем, очевид­но, будет деформироваться. Для численной характеристики этой деформации вводится так называемый тензор скоростей деформа­ции, представляющий собой следующую таблицу

(4)

_,

где

.

(5)

Физический смысл диагональных компонентсо­стоит в том, что они определяют скорость растяжения (или сжатия) объема жидкости вдоль осей х, у,z. Остальные, недиагональные компоненты характеризуют скорость скашивания объема, которое будет происходить при движении. Поскольку мы рассматриваем плоское движение, элементы будут рав­ны нулю.

При движении объем жидкости может не только деформиро­ваться, но и расширяться (или сжиматься). Это явление численно ха­рактеризуется скоростью объемного расширения жидкости

.

(6)

В случае, когда I=0, жидкость называется несжимаемой.

В гидромеханике вводится также величина, характеризующая вихревое движение точек среды. Это так называемый вектор вихря скорости.

= rot v.

(7)

Если в пространстве существует область, где 0, то в этой области течение называетсябезвихревым.

Иногда в задачах требуется вычислить полные производные по времени от гидродинамических величин (от скорости, температуры, давления и т.п.). Гидродинамические величины зависят от времени и координат, а координаты могут также зависеть от времени, если жидкая частица перемещается. Следовательно, согласно формулам математического анализа, можем записать для полной производной по времени от гидродинамического параметра A(x,y,t) следующее выражение

В частности, если А = v, то мы получим формулу для вычис­ления ускорения

(8)

Или в проекциях

(9)

Таким образом, мы можем вычислить ускорения любой точки среды в любой момент времени.

В случае безвихревого течения (когда rot v = 0) вводится по­нятие потенциала скорости - функция (x,y,t). По определению

v = grad

т. е.

(10)

Если же нам известно поле скоростей, а нужно найти потенци­ал в некоторой точке, то необходимо вычислить криволинейный интеграл по произвольному контуру, соединяющему точку А - на­чало отсчета потенциала и точку В, в которой ищется потенциал.

Для плоского движения несжимаемой жидкости (когда div v = 0) вводят функцию тока (х, у). По определению

(11)

Аналогично формуле для потенциала

(12)

Функция (x, у) называется функцией тока, т. к. на каждой линии тока она сохраняет постоянное значение. Это свойство по­зволяет проводить исследование линий тока, когда их трудно найти непосредственно.

Остановимся на решении характерных задач по кинематике жидкости.

Задача 1. Для плоского поля скоростей v(4t +2,- х) опре­делить

1) линию тока и траекторию, проходящие через точку A(0,1/16) в момент времени t = 0 ;

2) тензор скоростей деформации и сжимаемость среды;

3) поле вихря;

4) ускорение точек среды.

Решение. 1). Траекторию, согласно формуле (1), мы определяем из системы уравнений

Продифференцируем второе уравнение системы еще раз по t. Получим

или

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с по­стоянными коэффициентами. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неодно­родного уравнения. Решениенаходится путем отыска­ния корней характеристического уравнения.

Следовательно,

(t) = cos 2t + sin 2t.

Используя метод неопределенных коэффициентов, по виду не­однородной правой части заключаем, что решение (t) .нужно ис­кать в виде

(t) = а+bt + c.

Вычисляя d/dt и /d, подставляем вторую произ­водную в исходное неоднородное уравнение. Получим

2a+ 4(а+bt + с) = -

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, имеем

4я = -1/2, 4b = 0, 2а + 4с = 0,

откуда

а = -1/8, b = 0, с = 1/16.

Определим теперь произвольные постоянные. По условию

x(0) = 0, у(0) = 1/16,

откуда находим, что == 0. Уравнение траектории, таким образом, имеет вид

x(t) = -t, y(t) = -

или =-1/2 (у-1/16).

Это уравнение параболы.

Для определения линий тока воспользуемся формулой (3). В нашем случае можем записать

Разделив таким образом переменные и интегрируя, получим

Подставляя начальные значения, найдем С = 1/64. Уравнение линии тока примет вид уравнения эллипса

Рис. 1 иллюстрирует полученные выражения для траектории и линии тока.

	у
	\ -J \
\	\

Рис.1.

2) Компоненты тензора скоростей деформации находятся по формуле (5). Проведя вычисления, определим, что почти все эле­менты тензора равны нулю, за исключением двух.

Сжимаемость среды I в данном случае также нулевая.

3) Поле вихря находится по формуле (7) и с помощью опреде­ления ротора.

4) Для определения ускорения воспользуемся формулами (9).

Получим

Задача 2. По известному потенциалу скорости (х,у) =найти функцию тока(х, у).

Решение. Прежде всего, проверим, выполнено ли условие несжи­маемости среды

div v = 0, т.к. только в этом случае возможно существование функции тока.

Рис.2.

Найдем функцию тока на основе формулы (12), где начальную точку отсчета А выберем в начале координат. Пусть точка В имеет координаты (). Т. к. мы имеем право интегрировать по произвольному пути, выберем в качестве контура ломаную АСВ (см. рис. 2). Очевидно,

на AС:у=0, 0x, d у =0,

на СВ: х = ,d х = 0.

Подставляя это в формулу (12), получим

Литература

[2] с. 9-12,. с. 16-21, с. 31 -35,

[3] с. 14-80,

[41 с. 31 - 53,

[5] с. 22 - 108.