8.3. Законы распределения
1.
Равномерный(рис. 8.1):
=
;
;
=
=
;
Рис. 8.1
[
]
=
=
=
.
2. Треугольный(рис. 8.2):
;
=
;
Рис. 8.2
=
;
=
.
3.Экспоненциальный(рис. 8.3):
Рис. 8.3 
;
0;
=
.
Если вероятность того, что один и только
один результат наступит на интервале
,
пропорциональна
и если наступление результата не зависит
от наступления других результатов, то
величины интервалов между результатами
распределены экспоненциально. Данный
тип процесса не оставляет последействия,
что характеризует его марковские
свойства.
4. Распределение Эрланга. Является результатом суммирования целого числа независимых и одинаково распределенных экспоненциальных СВ. Используется в теории массового обслуживания, когда исследуется выполнение работ в течение экспоненциально распределенных промежутков времени.
5. Распределение Пуассона. Является
дискретным и обычно связано с числом
результатов за определенный период
времени. Если продолжительность
интервалов времени между результатами
распределена экспоненциально и в каждый
момент времени может произойти только
один результат, то число результатов
на фиксированном интервале времени
распределено по закону Пуассона. При
больших значениях
пуассоновское распределение представляется
нормальным (рис. 8.4):
;
,1,2…
;
=
.
Рис. 8.4 
6. Нормальный (гауссовский)закон (рис. 8.5):
=
exp
.
Рис. 8.5 
(хи-квадрат)-распределение(рис.
8.6). Пусть
,…,
- независимые СВ и
,
где
означает нормальное распределение
переменной
,
из которой выбираются
,…,
и
,
- параметры распределения СВ
.
Тогда
распределение величины
=
Рис. 8.6
называется
-распределением
СВ с
с
тепенями
свободы. Значение
,
свыше которого площадь под кривой
распределения (вероятность) равна
,
называется квантилем
(условный порог значимости). С учетом
удобнее записывать квантиль
как
или
(
)
(иногда вместо индекса
употребляют выражение 1-
).
Поскольку
,
и
связаны друг с другом, они могут быть
представлены одной общей таблицей.
8. Распределение Стьюдента(
-распределение
– рис. 8.7). Распределение Стьюдента в
общем случае оценивает разность между
средними значениями двух независимых
нормально распределенных величин
и
,
где
,
- объемы выборок соответственно для
и
:
.
+
-2
определяет степень свободы
с
лучайной
величины
.
Случайная
величина
=
,
т
Рис. 8.7 
-распределению.
Здесь
=
(
-1);
квантиль
=
=
(
)
соответствует
,
за которым площадь под кривой распределения
равна
/2
(вместо
часто пишут просто
).
8.4. Генерация псевдослучайных чисел
Наиболее часто применимым на практике методом получения СВ являются генерация одной или нескольких СВ, равномерно распределенных на интервале [0,1] (базовая СВ или БСВ), и последующее преобразование БСВ в новую СВ, распределенную по нужному закону.
Из всех методов получения СВ предпочтение
отдается применению рекурсивных формул,
по которым на основании
-й
СВ вычисляется (
+1)-я
СВ. Наилучшим образом требованиям СВ
удовлетворяет конгруэнтный метод:
= (
+
)
,
=0,1,2,…,
=
/
,
где
,
,
- константы;
- ненормализованная СВ;
- нормализованная СВ в интервале [0,1];
(
+
)
означает, что
=
(
+
)
-
{
},
где {} - целая часть;
=
- корень. Числа
являются не точно случайными
(псевдослучайными) и могут повторяться
(имеют период числового ряда). Для данных
конгруэнтных генераторов полный период
(
-
разрядность ЭВМ) соответствует
=
,
- простое число (наибольший общий делитель
для
и
равен 1),
=1+4
, где
- целое число.
Фундаментальным методом получения СВ
с заданным законом распределения
является метод обратной функции:
=
,
где
-
БСВ,
-
функция от
,
вычисляемая из уравнения
=
.
Пример:
=
.
Генерируем число
и приравниваем его к
.
После логарифмирования равенства
=
находим
=
=
.
Если функцию
найти не удается, используют различные
разработанные процедуры (программы)
случайной выборки.